Reconnaître une suite, la définir de façon explicite ou par récurrence, et calculer ses premiers termes.
Dans de nombreuses situations, une quantité évolue au fil du temps :
• le nombre d'abonnés d'un réseau social augmente chaque mois ;
• un capital placé à la banque produit des intérêts ;
• une population de bactéries double toutes les heures.
Au lieu d'étudier ces valeurs une par une, on utilise une suite numérique pour décrire l'évolution d'une grandeur à l'aide d'une succession de nombres.
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Chaque nombre est appelé un terme de la suite.
On note généralement une suite par une lettre : (). Le terme de rang n s'écrit . Le rang indique la position du terme dans la suite.
• Suite : une liste de nombres.
• Terme : un nombre appartenant à la suite.
• Rang : la position d'un terme.
• Indice : le nombre écrit en bas à droite. Dans , le rang est 5.
① Par une formule explicite — chaque terme est calculé directement.
② Par une relation de récurrence — chaque terme est obtenu à partir du précédent.
Si la formule contient uniquement n → formule explicite. Si elle contient **** → relation de récurrence.
On considère = 2n² + 1. Calculons les quatre premiers termes :
❌ Confondre le rang et la valeur. Dans = 18 : 5 est le rang, 18 est la valeur.
❌ Oublier le terme initial dans une définition par récurrence. Impossible sans ou .
❌ Penser que toutes les suites commencent à . Certaines commencent au rang 1 : lis toujours l'énoncé.
✅ Une suite est une liste ordonnée de nombres.
✅ Un terme se note .
✅ Une suite peut être définie par une formule explicite ou par une relation de récurrence.
✅ Le rang indique la position du terme.
Différence constante ⇒ arithmétique. Quotient constant ⇒ géométrique.
u_{n+1} = f(u_n) pour calculer de proche en proche ; u_n = f(n) pour un terme lointain.
u_n = u_0 + nr ou u_n = u_0 × qⁿ, et les sommes de termes.
Sens de variation puis limite : justifie avec le signe de r ou la valeur de q.
Si tu vois uniquement n dans la formule, remplace n par le rang demandé. Si tu vois ****, calcule les termes les uns après les autres.
Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.
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