01
Pourquoi une variable aléatoire ?
Certaines expériences produisent un résultat numérique :
• le gain d'un jeu ;
• le nombre de bonnes réponses à un QCM ;
• le bénéfice d'une vente.
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue.
Chapitre 8 sur 8 · Première
Variables aléatoires
Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire, calculer son espérance, sa variance et son écart-type.
01
Objectifs & prérequis
◎Objectifs du chapitre
- ✓Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire.
- ✓Calculer une espérance.
- ✓Calculer une variance et un écart-type.
- ✓Interpréter ces indicateurs.
▤Prérequis
- Probabilités conditionnelles
- Moyenne et écart-type
- Racines carrées
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Fiche de cours
02
Définition
Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
03
Loi de probabilité
La loi indique toutes les valeurs possibles de X et leur probabilité.
| Valeur | 0 | 2 | 5 |
| --- | --- | --- | --- |
| Probabilité | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
La somme des probabilités est toujours égale à 1.
04
Espérance
L'espérance est la moyenne obtenue si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois :
E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ⋯ + xₙpₙ.
✱Exemple
- ›Si X vaut 1 avec p = 0,3 et 4 avec p = 0,7 : E(X) = 1×0,3 + 4×0,7 = 3,1.
05
Variance
La variance mesure la dispersion autour de l'espérance :
V(X) = E(X²) − E(X)².
Plus la variance est grande, plus les résultats sont dispersés.
06
Écart-type
L'écart-type est la racine carrée de la variance :
σ(X) = .
Il s'exprime dans la même unité que X.
07
Interprétation
• Faible écart-type → les valeurs sont proches de la moyenne.
• Grand écart-type → les valeurs sont très dispersées.
08
Exemple
Un jeu coûte 2 €. Le joueur gagne 0 € avec p = 0,8 ou 10 € avec p = 0,2.
Gain algébrique : −2 € (p = 0,8) ou 8 € (p = 0,2).
E(X) = (−2)×0,8 + 8×0,2 = 0. Le jeu est équitable.
E(X) = (−2)×0,8 + 8×0,2 = 0. Le jeu est équitable.
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Erreurs fréquentes
❌ Oublier que la somme des probabilités vaut 1.
❌ Confondre espérance et probabilité.
❌ Calculer V(X) sans déterminer correctement E(X²).
★ À retenir
✅ Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue.
✅ E(X) = Σ xᵢpᵢ.
✅ V(X) = E(X²) − E(X)².
✅ σ(X) = .
03
Méthode GUIZMATHS
✎
La méthode en 4 étapes
Comment aborder « Variables aléatoires »
Étape 1
Définir X
Écris ce que compte X et donne l'ensemble de ses valeurs possibles.
Étape 2
Loi de probabilité
Construis le tableau des P(X = k) et vérifie que la somme fait 1.
Étape 3
Espérance et écart-type
E(X) = Σ xᵢ p(xᵢ), puis V(X) et σ(X) = √V(X).
Étape 4
Interpréter
L'espérance est un gain moyen sur un grand nombre de parties : dis-le en français.
✦Astuce GUIZMATHS
Méthode universelle : 1. construire le tableau, 2. vérifier que la somme des probabilités vaut 1, 3. calculer E(X), 4. calculer V(X), 5. terminer par σ(X).
⚠Erreur fréquente
Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.
✓À retenir
Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.
05
Exercices
Niveau 1 — Initiation
1. X vaut 0 (p = 0,2), 2 (p = 0,5), 5 (p = 0,3). Vérifie que la somme des probabilités est 1.
2. X vaut 1 (p = 0,3) et 4 (p = 0,7). Calcule E(X).
3. X vaut −1 (p = 0,5) et 3 (p = 0,5). Calcule E(X).
Niveau 2 — Pratique
1. X vaut 0 (p = 0,2), 2 (p = 0,5), 5 (p = 0,3). Calcule E(X).
2. Pour la même loi, calcule E(X²) puis V(X).
3. Calcule l'écart-type σ(X) de la loi précédente (arrondi à 0,01).
Niveau 3 — Défi
1. Un jeu : gain de −2 € (p = 0,8) ou +8 € (p = 0,2). Calcule E(X) et conclus sur l'équité du jeu.
2. Pour le jeu précédent, calcule V(X) et σ(X).
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Défi GUIZMATHS
★
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07
Corrigés
Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.