Calculer une probabilité conditionnelle, utiliser un arbre pondéré, tester l'indépendance et appliquer la formule des probabilités totales.
Une information peut modifier une probabilité :
• connaître le résultat d'un premier tirage ;
• savoir qu'un patient est malade ;
• connaître la couleur de la première carte tirée.
On calcule alors une probabilité conditionnelle.
La probabilité de A sachant B se note (A) ou P(A | B). Elle répond à la question : « Quelle est la probabilité que A se réalise sachant que B est déjà réalisé ? »
À connaître parfaitement.
On en déduit :
Les arbres organisent les calculs. Règles :
• on multiplie les probabilités sur une branche ;
• on additionne les probabilités des chemins menant au même événement.
Très utiles quand l'expérience se déroule en plusieurs étapes.
Si B et B̄ forment une partition :
A et B sont indépendants lorsque :
La réalisation de l'un n'influence pas l'autre.
Une entreprise compte 60 % de femmes ; parmi elles, 30 % pratiquent un sport. Probabilité qu'une personne au hasard soit une femme sportive ?
❌ Confondre P(A | B) et P(B | A).
❌ Additionner au lieu de multiplier sur une branche d'arbre.
❌ Oublier que la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.
✅ P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).
✅ Savoir construire un arbre pondéré.
✅ A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
✅ Formule des probabilités totales avec une partition.
Repère « sachant que » : c'est une probabilité conditionnelle P_B(A).
1er niveau = conditionnement, 2e niveau = probabilités conditionnelles.
Un chemin = produit des probabilités. Probabilités totales = somme des chemins.
A et B indépendants ⇔ P(A∩B) = P(A) × P(B). Vérifie par le calcul, jamais à l'intuition.
Dans un arbre : on multiplie lorsqu'on descend une branche, on additionne lorsqu'on rassemble plusieurs chemins.
Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.
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Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.
