01
Définition
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est un nombre réel (pas un vecteur). Il mesure l'orientation des deux vecteurs.
Chapitre 6 sur 8 · Première
Produit scalaire
Calculer un produit scalaire, démontrer qu'un angle est droit et résoudre des problèmes de géométrie.
01
Objectifs & prérequis
◎Objectifs du chapitre
- ✓Calculer un produit scalaire avec coordonnées ou avec un angle.
- ✓Démontrer une orthogonalité.
- ✓Calculer un angle entre deux vecteurs.
- ✓Utiliser le produit scalaire en géométrie.
▤Prérequis
- Vecteurs
- Trigonométrie
- Géométrie repérée
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Fiche de cours
02
Première formule
u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ), où θ est l'angle entre les deux vecteurs.
03
Avec les coordonnées
Si u(x₁ ; y₁) et v(x₂ ; y₂), alors :
u · v = x₁x₂ + y₁y₂.
04
Orthogonalité
Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si u · v = 0. C'est le principal critère utilisé dans les exercices.
05
Calcul d'un angle
On utilise : cos(θ) = .
06
Exemple
Soient u(2 ; 3) et v(4 ; −1).
Alors u · v = 2 × 4 + 3 × (−1) = 8 − 3 = 5.
✱Exemple
- ›u · v = 2×4 + 3×(−1) = 5
07
Applications
Le produit scalaire permet de :
• montrer qu'un triangle est rectangle ;
• calculer un angle ;
• démontrer une perpendicularité ;
• résoudre des problèmes géométriques.
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Erreurs fréquentes
❌ Additionner les coordonnées au lieu de les multiplier.
❌ Oublier de multiplier les coordonnées de même rang.
❌ Penser que le produit scalaire est un vecteur (c'est un nombre réel).
★ À retenir
✅ Le produit scalaire est un réel.
✅ Avec coordonnées : u · v = x₁x₂ + y₁y₂.
✅ Si u · v = 0, les vecteurs sont perpendiculaires.
✅ Il permet de calculer angles et perpendicularités.
03
Méthode GUIZMATHS
✎
La méthode en 4 étapes
Comment aborder « Produit scalaire »
Étape 1
Choisir l'expression
Coordonnées, normes et angle, ou projection : selon les données de l'énoncé.
Étape 2
Calculer
u·v = xx' + yy' ou ‖u‖‖v‖cos θ. Écris la formule choisie.
Étape 3
Orthogonalité
u·v = 0 ⇔ vecteurs orthogonaux : c'est l'outil de démonstration n°1.
Étape 4
Appliquer
Angles, longueurs, équations de droites et de cercles découlent du produit scalaire.
✦Astuce GUIZMATHS
Lorsque les coordonnées sont connues, utilise directement x₁x₂ + y₁y₂ : c'est presque toujours la méthode la plus rapide.
⚠Erreur fréquente
Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.
✓À retenir
Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.
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Exercices
Niveau 1 — Initiation
1. Calcule u · v avec u(2 ; 3) et v(4 ; −1).
2. Calcule u · v avec u(1 ; 0) et v(0 ; 1).
3. Calcule u · v avec u(3 ; 2) et v(1 ; 5).
Niveau 2 — Pratique
1. Montre que u(2 ; 3) et v(3 ; −2) sont orthogonaux.
2. Calcule la norme de u(3 ; 4).
3. Soient u(1 ; 2) et v(2 ; 1). Calcule cos(θ) entre u et v (donne la valeur exacte).
Niveau 3 — Défi
1. ABC est tel que A(1 ; 2), B(4 ; 3), C(2 ; 6). Le triangle est-il rectangle en A ?
2. Détermine k pour que u(2 ; k) et v(3 ; −1) soient orthogonaux.
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Défi GUIZMATHS
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07
Corrigés
Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.