Chapitre 10 sur 10 · Terminale

Équations différentiellesÉquations linéaires d'ordre 1, résolution et applications

Reconnaître une équation différentielle linéaire du premier ordre, résoudre $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$ , déterminer la solution vérifiant une condition initiale, et modéliser des phénomènes réels (évolution, désintégration, refroidissement…).

Guiz, la mascotte boss des maths de Terminale

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Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Reconnaître une équation différentielle linéaire d'ordre 1.
✓Résoudre $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$ .
✓Déterminer la solution vérifiant une condition initiale.
✓Modéliser un phénomène par une équation différentielle.

▤Prérequis

Dérivation
Fonction exponentielle
Primitives

Fiche de cours

Comprendre avant d'apprendre

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ et qui fait intervenir $y$ ainsi que ses dérivées $y^{'}$ , $y^{''}$ , …

Exemples :

•

y^{'} = 2 y

: la dérivée est proportionnelle à la fonction (croissance/décroissance).
•

y^{'} = 3 y + 5

: croissance avec un terme constant.
•

y^{''} + y = 0

: oscillations (hors programme d'ordre 1).

Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions $y$ qui la vérifient sur un intervalle $I$ .

Vocabulaire

• Ordre : l'ordre de la dérivée la plus haute qui apparaît. Ici, on étudie l'ordre 1 ( $y^{'}$ apparaît, pas $y^{''}$ ).
• Linéaire : $y$ et $y^{'}$ n'apparaissent qu'à la puissance $1$ (pas de $y^{2}$ , $sin (y)$ , etc.).
• Solution générale : l'ensemble de toutes les solutions (dépend d'une constante $C$ ).
• Solution particulière : une solution précise (par exemple, celle qui vérifie $y (0) = 3$ ).

Équation $y^{'} = a y$

Soit $a \in R$ . Les solutions sur $R$ de l'équation $y^{'} = a y$ sont exactement les fonctions de la forme :

★ Formule à retenir

y (x) = C e^{a x}, C \in R

✱Exemples

› $y^{'} = 2 y$ : solutions $y (x) = C e^{2 x}$ .
› $y^{'} = - 3 y$ : solutions $y (x) = C e^{- 3 x}$ .
› $y^{'} = y$ : solutions $y (x) = C e^{x}$ .

Équation $y^{'} = a y + b$

Soient

a \in R^{*}

b \in R

. Les solutions sur

R

y^{'} = a y + b

sont :

★ Formule à retenir

y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}, C \in R

★ À retenir

La solution particulière constante est $y_{p} = - \frac{b}{a}$ (obtenue en cherchant $y$ constante : $y^{'} = 0$ donc $0 = a y_{p} + b$ ).

Méthode — Résoudre $y^{'} = a y + b$

1. Identifier $a$ et $b$ .
2. Chercher la solution particulière constante $y_{p} = - \frac{b}{a}$ .
3. Écrire la solution générale de l'équation homogène $y^{'} = a y$ : $y_{h} (x) = C e^{a x}$ .

4. Conclure :

y (x) = y_{h} (x) + y_{p} = C e^{a x} - \frac{b}{a}

✱Exemples

›Résoudre $y^{'} = 2 y - 6$ . Ici $a = 2$ , $b = - 6$ , donc $y_{p} = 3$ . Solutions : $y (x) = C e^{2 x} + 3$ .
›Résoudre $y^{'} = - y + 4$ . Ici $a = - 1$ , $b = 4$ , donc $y_{p} = 4$ . Solutions : $y (x) = C e^{- x} + 4$ .

Condition initiale — unicité

Pour tout couple $(x_{0}; y_{0}) \in R^{2}$ , il existe une unique solution de l'équation $y^{'} = a y + b$ vérifiant la condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Méthode : on remplace $x$ par $x_{0}$ dans la solution générale et on résout pour $C$ .

✱Exemples

›Résoudre $y^{'} = 2 y$ avec $y (0) = 5$ . Solution générale : $y (x) = C e^{2 x}$ . Or $y (0) = C = 5$ , donc $y (x) = 5 e^{2 x}$ .
›Résoudre $y^{'} = - 3 y + 6$ avec $y (0) = 4$ . Ici $y_{p} = 2$ , donc $y (x) = C e^{- 3 x} + 2$ . Or $y (0) = C + 2 = 4$ , donc $C = 2$ et $y (x) = 2 e^{- 3 x} + 2$ .

Récapitulatif des formules

Les deux résultats clés à connaître par cœur :

Équation	Solutions sur $R$
$y^{'} = a y$	$y (x) = C e^{a x}$
$y^{'} = a y + b$ ( $a \neq = 0$ )	$y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$
Condition $y (x_{0}) = y_{0}$	$C$ est déterminé de manière unique

Applications — modéliser un phénomène

Beaucoup de phénomènes physiques se traduisent par $y^{'} = a y + b$ :

• Désintégration radioactive : $N^{'} (t) = - λ N (t)$ , avec $λ > 0$ . Solution : $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ .

• Refroidissement (loi de Newton) :

T^{'} (t) = - k (T (t) - T_{amb})

, soit

T^{'} = - k T + k T_{amb}

• Croissance limitée : $y^{'} = a (M - y)$ avec $M$ la valeur limite.

Méthode : identifier $a$ et $b$ , résoudre, puis utiliser la condition initiale.

✱Exemple

›Un café à $80 °$ C refroidit dans une pièce à $20 °$ C. On modélise $T^{'} = - 0, 1 (T - 20)$ , soit $T^{'} = - 0, 1 T + 2$ . Solution : $T (t) = C e^{- 0, 1 t} + 20$ . Or $T (0) = 80$ donne $C = 60$ , donc $T (t) = 60 e^{- 0, 1 t} + 20$ .

Pièges à éviter

❌ Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
❌ Se tromper de signe : la solution de $y^{'} = a y$ est $C e^{a x}$ (avec le même signe que $a$ ).
❌ Oublier la solution particulière $- \frac{b}{a}$ pour $y^{'} = a y + b$ .

❌ Écrire

y_{p} = \frac{b}{a}

(attention au signe moins).

❌ Confondre condition initiale et solution particulière constante.

★ À retenir

✅ $y^{'} = a y \Rightarrow y (x) = C e^{a x}$ .
✅ $y^{'} = a y + b \Rightarrow y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq = 0$ ).
✅ Une condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ détermine $C$ de manière unique.
✅ Toujours vérifier en dérivant sa solution !

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Équations différentielles »

Étape 1

Identifier le type

y' = ay, y' = ay + b, ou avec second membre : la solution générale en dépend.

Étape 2

Solution générale

y = C e^{ax} pour y' = ay ; ajoute la solution particulière constante sinon.

Étape 3

Condition initiale

Remplace x et y par les valeurs données pour déterminer C.

Étape 4

Interpréter

Reviens au modèle (croissance, refroidissement, circuit) et commente.

✦Astuce GUIZMATHS

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction (et non un nombre) : elle relie $y$ à ses dérivées. Retiens la solution générale de $y^{'} = a y$ : $y (x) = C e^{a x}$ , avec $C \in R$ . Tout le chapitre en découle !

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

11 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Donne la solution générale de

y^{'} = 3 y

2. Donne la solution générale de

y^{'} = - 2 y

3. Vérifie que

y (x) = 4 e^{5 x}

est solution de

y^{'} = 5 y

4. Donne la solution particulière constante de

y^{'} = 2 y - 8

Niveau 2 — Pratique

1. Résous

y^{'} = 2 y

avec

y (0) = 7

2. Résous

y^{'} = - y + 3

(solution générale).

3. Résous

y^{'} = 4 y - 12

avec

y (0) = 5

4. Résous

y^{'} = - 0, 5 y + 2

avec

y (0) = 0

Niveau 3 — Défi

1. Un corps refroidit selon

T^{'} = - 0, 2 (T - 15)

, avec

T (0) = 75 °

C. Détermine

T (t)

puis

lim_{t \to + \infty} T (t)

2. La population

N (t)

d'une bactérie vérifie

N^{'} = 0, 3 N

avec

N (0) = 1000

. Détermine

N (t)

puis le temps

t

pour lequel

N (t) = 2000

3. Résous

y^{'} = 2 y + 4

avec

y (0) = 1

, puis étudie le sens de variation de la solution sur

R

Défi GUIZMATHS

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Équation y′=ay

Équation y′=ay+b

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Équation $y^{'} = a y + b$

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