Chapitre 9 sur 10 · Terminale

ProbabilitésExpériences aléatoires, calculs et variables aléatoires

Comprendre une expérience aléatoire, calculer des probabilités, utiliser les probabilités conditionnelles, manipuler les variables aléatoires discrètes et calculer espérance, variance et écart-type.

Guiz, la mascotte boss des maths de Terminale

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Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Comprendre une expérience aléatoire.
✓Calculer des probabilités simples et conditionnelles.
✓Manipuler les variables aléatoires discrètes.
✓Calculer espérance, variance et écart-type.

▤Prérequis

Probabilités conditionnelles (1ʳᵉ)
Variables aléatoires (1ʳᵉ)

Fiche de cours

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles. L'ensemble de toutes les issues est noté Ω (univers).

Exemple : lancer un dé équilibré. Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

Probabilité

La probabilité d'un événement $A$ , notée $P (A)$ , vérifie

0 \leq P (A) \leq 1

P (Ω) = 1

A

B

sont incompatibles :

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

Probabilité conditionnelle

Si $P (B) > 0$ , alors la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé :

★ Formule à retenir

P_{B}

(A) = P(A|B) =

\frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

Indépendance

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui équivaut à P(A|B) = P(A).

Dans ce cas, la réalisation de B ne change pas la probabilité de A.

Arbre de probabilités

Permet d'organiser les choix successifs et de calculer les probabilités finales.

Règles d'un arbre :
1. Sur chaque branche, on note une probabilité (conditionnelle si on n'est pas au 1er niveau).
2. La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.
3. La probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long du chemin.

Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue.

Loi de probabilité : tableau des valeurs $x_{i}$ et de leurs probabilités $p_{i} = P (X = x_{i})$ , avec $\sum p_{i} = 1$ .

$x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{n}$
$p_{i} = P (X = x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	…	$p_{n}$

Espérance, variance, écart-type

Espérance (valeur moyenne à long terme) :

On multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis on additionne le tout.

E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … + xₙ·pₙ

Variance (dispersion autour de la moyenne) :

On calcule la moyenne des carrés des écarts à l’espérance.

V(X) = (x₁ − E(X))²·p₁ + (x₂ − E(X))²·p₂ + … + (xₙ − E(X))²·pₙ

Formule simplifiée : V(X) = E(X²) − [E(X)]²

Écart-type :

σ(X) =

V (X)

Méthodes

Calculer une probabilité simple :
1. Identifier l'univers Ω.
2. Compter les issues favorables à A.

3. P(A) =

\frac{n o mb r e d ec a s f a v or ab l es}{n o mb r e t o t a l d ec a s}

Probabilité conditionnelle :

1. Vérifier que P(B) > 0.

2. Calculer P(A ∩ B).

3. Utiliser P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).

✱Exemples

›On lance un dé équilibré. P("pair") = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$ .
›Indépendance : P("Pile") = $\frac{1}{2}$ , P("6") = $\frac{1}{6}$ ; P("Pile ∩ 6") = $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{12}$ .

Pièges à éviter

❌ Confondre $P (A ∣ B)$ et $P (B ∣ A)$ .
❌ Oublier de vérifier que $P (B) > 0$ avant de calculer $P (A ∣ B)$ .
❌ Penser que deux événements sont indépendants sans vérifier.
❌ Additionner les probabilités d'événements non incompatibles.

★ À retenir

✅ Les probabilités sont toujours entre $0$ et $1$ .
✅ Plus d'issues favorables ⇒ probabilité plus grande.
✅ La probabilité conditionnelle « affine » l'information.
✅ L'indépendance simplifie les calculs.
✅ $E (X)$ = valeur moyenne à long terme.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Probabilités »

Étape 1

Décrire l'expérience

Liste l'univers : quelles sont toutes les issues possibles ?

Étape 2

Compter

Cas favorables / cas possibles, en situation d'équiprobabilité.

Étape 3

Représenter

Arbre ou tableau : indispensable dès qu'il y a deux épreuves.

Étape 4

Vérifier

La somme des probabilités vaut 1, et chaque probabilité est entre 0 et 1.

✦Astuce GUIZMATHS

Dessine un arbre ou fais un tableau : ça évite les oublis et les erreurs !
Arbre = visuel · Tableau = rigoureux : deux alliés indispensables !

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

9 questions

Niveau 1 — Initiation

1. 1. On lance un dé équilibré. Quelle est P("obtenir un nombre pair") ?

2. 2. Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. Quelle est P("tirer une rouge") ?

3. 3. Pour une pièce équilibrée, calcule P("Pile") + P("Face").

Niveau 2 — Pratique

1. 1. P(A) = 0,40 P(B) = 0,50 et P(A ∩ B) = 0,2. Calcule P(A|B).

2. 2. Vérifie si A et B sont indépendants quand P(A) = 0,30 P(B) = 0,40 et P(A ∩ B) = 0,12.

3. 3. Soit X telle que P(X=0) = 0,30 P(X=1) = 0,50 et P(X=2) = 0,20. Calcule E(X).

Niveau 3 — Défi

1. 1. Une urne contient 5 boules blanches et 3 noires. On tire 2 boules sans remise. Calcule P("2 blanches").

2. 2. Loi : P(X=-1)=0,20 P(X=0)=0,50 P(X=2)=0,30. Calcule E(X), V(X) et σ(X).

3. On tire une carte dans un jeu de 32. Sachant qu'elle est rouge, quelle est la probabilité que ce soit un cœur ?

Défi GUIZMATHS

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.

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