Chapitre 1 sur 10 · Terminale

Suites numériques :limites et convergence

Tout ce qu'il faut maîtriser pour étudier le comportement d'une suite à l'infini : convergence, divergence, limites usuelles et théorèmes de comparaison.

Guiz, la mascotte boss des maths de Terminale

Mode Boss 👑

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Comprendre la notion de limite d'une suite.
✓Étudier la convergence ou la divergence.
✓Utiliser les théorèmes de comparaison.
✓Savoir calculer des limites de suites usuelles.

▤Prérequis

Suites arithmétiques
Suites géométriques
Inégalités
Valeurs absolues

Fiche de cours

Définition : limite d'une suite

On considère une suite ( $u_{n}$ $)_{n \in N}$ et un réel ℓ. On dit que la suite ( $u_{n}$ ) converge vers ℓ (ou que ℓ est la limite de ( $u_{n}$ )) si, et seulement si :

★ Formule à retenir

∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ / ∀n ≥ N, |

u_{n}

− ℓ| < ε

✱Exemple

›On note alors $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ .

⚠ Erreur fréquente

Confondre « tend vers » et « est égal à ». Une suite peut se rapprocher de ℓ sans jamais l'atteindre !

Limites de suites usuelles

Voici les limites de référence à connaître par cœur.

Suite ( $u_{n}$ )	Limite
$u_{n}$ = a (constante)	lim $u_{n}$ = a
$u_{n}$ = n	lim $u_{n}$ = +∞
$u_{n}$ = $\frac{1}{n}$	lim $u_{n}$ = 0
$u_{n}$ = $q^{n}$ avec q ∈ ℝ	• = 0 si \|q\| < 1 • = 1 si q = 1 • n'existe pas si q > 1 • n'existe pas si q < −1 • n'existe pas si q = −1

★ À retenir

Une suite converge si ses termes se rapprochent d'une valeur ℓ. L'infini n'est pas un nombre : on dit que la suite diverge. Utilise les théorèmes de comparaison pour encadrer une suite.

Théorèmes de comparaison

Soient ( $u_{n}$ ), ( $v_{n}$ ) et ( $w_{n}$ ) trois suites.

• Si lim

u_{n}

= ℓ et lim

v_{n}

= ℓ alors lim (

u_{n}

v_{n}

) = 2ℓ et lim (λ

u_{n}

) = λℓ.

• Si $u_{n}$ ≤ $v_{n}$ à partir d'un certain rang et lim $u_{n}$ = lim $v_{n}$ = ℓ alors lim $u_{n}$ = ℓ.
• (Théorème des gendarmes) Si $u_{n}$ ≤ $v_{n}$ ≤ $w_{n}$ à partir d'un certain rang et lim $u_{n}$ = lim $w_{n}$ = ℓ alors lim $v_{n}$ = ℓ.

Opérations sur les limites

Les limites se combinent comme les opérations… avec quelques formes indéterminées à connaître : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, $\frac{0}{0}$ .

Pour les lever, on factorise par le terme dominant ou on utilise une expression conjuguée.

✱Exemples

› $lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{n} = 2$ (on factorise par n)
› $lim_{n \to + \infty} (n + 1 - n) = 0$ (expression conjuguée)

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Suites numériques : »

Étape 1

Reconnaître la forme

Arithmétique, géométrique, ou définie par récurrence : la méthode en dépend.

Étape 2

Conjecturer

Calcule les premiers termes ou utilise la calculatrice pour deviner la limite.

Étape 3

Démontrer

Récurrence, comparaison ou théorème des gendarmes selon l'énoncé.

Étape 4

Conclure rigoureusement

Nomme le théorème utilisé : c'est là que se jouent les points.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour montrer qu'une suite converge vers ℓ, pense à majorer | $u_{n}$ − ℓ| par une expression qui tend vers 0 quand n tend vers +∞ !

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

11 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Calculer

lim_{n \to + \infty} \frac{3}{n}

2. Calculer

lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})

3. Donner la limite de

u_{n} = 0. 5^{n}

4. Donner la limite de

u_{n} = 2^{n}

Niveau 2 — Pratique

1. Limite de

u_{n} = \frac{2 n + 3}{n - 1}

2. Limite de

u_{n} = \frac{n ^{2} - 1}{n + 1}

3. Limite de

u_{n} = n + 1 - n

4. Utiliser les gendarmes :

0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{n}

Niveau 3 — Défi

1. Étudier

u_{n} = \frac{2 n ^{2} + 3 n - 1}{n ^{2} - n + 1}

(défi Guizmaths).

2. Montrer que

u_{n} = \frac{cos n}{n}

converge vers 0.

3. Étudier la convergence de

u_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

Défi GUIZMATHS

★

Prêt·e à relever le défi ?

Mode Défi · Suites numériques :

Peux-tu déterminer la limite de la suite suivante sans la calculatrice ?

$u_{n} = \frac{2 n ^{2} + 3 n - 1}{n ^{2} - n + 1}$

(Réponse dans les corrigés 😉)

Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.