Chapitre 2 sur 10 · Terminale

Limites de fonctionsLimites finies, limites infinies, asymptotes

Calculer une limite, interpréter graphiquement le comportement d'une fonction et déterminer ses asymptotes.

Guiz, la mascotte boss des maths de Terminale

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Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Calculer des limites finies et infinies.
✓Interpréter graphiquement une limite.
✓Déterminer les asymptotes d'une courbe.
✓Utiliser les limites pour étudier le comportement d'une fonction.

▤Prérequis

Fonctions de référence
Calcul algébrique
Suites — limites

Fiche de cours

Limite en un point a

On dit que $f (x)$ tend vers $ℓ$ en $a$ si $f (x)$ se rapproche de $ℓ$ quand $x$ se rapproche de $a$ .

★ Formule à retenir

\li

m_{x \to a}

f(x) = ℓ

Limite à l'infini

On étudie le comportement de $f (x)$ quand $x$ devient très grand ( $x \to + \infty$ ) ou très petit ( $x \to - \infty$ ).

★ Formule à retenir

\li

m_{x \to + \infty}

f(x) = ℓ ou \li

m_{x \to - \infty}

f(x) = ℓ

Limite infinie en a

$f (x)$ devient aussi grand (ou aussi petit) que l'on veut quand $x$ se rapproche de $a$ .

★ Formule à retenir

\li

m_{x \to a}

f(x) = +∞ ou \li

m_{x \to a}

f(x) = -∞

Asymptotes

• Verticale : droite

x = a

lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty

.
• Horizontale : droite

y = ℓ

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = ℓ

.
• Oblique : droite

y = m x + p

f (x) - (m x + p) \to 0

quand

x \to \pm \infty

Méthode — Calculer une limite

En un point a :
① Remplacer $x$ par $a$ .
② Si on obtient une forme indéterminée ( $0/0$ , $+ \infty - \infty$ , $0 \times \infty$ …), factoriser ou simplifier.
③ Conclure.

À l'infini :
① Observer les termes dominants.
② Diviser numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de $x$ .
③ Prendre la limite du terme dominant.

Méthode — Déterminer les asymptotes

• Chercher les limites en $a$ pour les asymptotes verticales.
• Chercher les limites en $\pm \infty$ pour les asymptotes horizontales.
• Pour une asymptote oblique : calculer $m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f ( x )}{x}$ puis $p = lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - m x]$ .

Exemple entièrement corrigé

Soit f(x) =

2x2 - x + 1
x - 1
définie sur ℝ \setminus \{1\}.

1. Limite en 1 :
0
0

→ forme indéterminée.
On factorise : 2x2 - x + 1 = (2x+1)(x-1).
Donc f(x) = 2x + 1 (pour x ≠ 1)
et limx → 1 f(x) = 3.

2. Limites à l'infini : f(x) = 2x - 1 +

1
x - 1
.

Quand x → +∞, f(x) → +∞. Quand x → -∞, f(x) → -∞.

3. Asymptotes : verticale x = 1 (limite finie) → pas d'asymptote verticale. Asymptote oblique : y = 2x - 1.

⚠ Erreur fréquente

❌ Oublier de vérifier si la forme est indéterminée avant de simplifier.
❌ Confondre limite et valeur de la fonction ( $f$ peut ne pas être définie en $a$ ).
❌ Pour une asymptote horizontale, oublier de vérifier les limites en $+ \infty$ ET en $- \infty$ .
❌ Pour une asymptote oblique, oublier de calculer $p$ .

★ À retenir

✅ Une limite décrit la valeur vers laquelle une fonction se rapproche.
✅ Les limites en un point permettent de comprendre le comportement local.
✅ Les limites à l'infini décrivent le comportement global.
✅ Les asymptotes sont des droites que la courbe approche sans jamais les couper (ou en s'en éloignant indéfiniment).

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Limites de fonctions »

Étape 1

Repérer la forme

Limite en l'infini ou en un point interdit ? Note la forme indéterminée éventuelle.

Étape 2

Lever l'indétermination

Factorise par le terme dominant, ou multiplie par la quantité conjuguée.

Étape 3

Croissances comparées

exp ≫ puissances ≫ ln : le classement résout beaucoup de cas.

Étape 4

Traduire graphiquement

Chaque limite donne une asymptote : nomme-la et donne son équation.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour une limite à l'infini, repère toujours le terme de plus haut degré : c'est lui qui gouverne le comportement de la fonction. Exemple : dans $2 x^{3} + 5 x^{2} - 1$ , le terme dominant est $2 x^{3}$ .

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

10 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Calcule

lim_{x \to 2} (3 x - 1)

2. Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}

3. Calcule

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}

4. Donne

lim_{x \to + \infty} x^{2}

Niveau 2 — Pratique

1. Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 3}{x - 1}

2. Calcule

lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

3. Détermine les asymptotes de

f (x) = \frac{1}{x - 2}

Niveau 3 — Défi

1. Étudie

f (x) = \frac{2 x ^{2} - x + 1}{x - 1}

: limites et asymptotes.

2. Détermine l'asymptote oblique de

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}

3. Calcule

lim_{x \to + \infty} (x^{2} + 1 - x)

Défi GUIZMATHS

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.