Chapitre 3 sur 10 · Terminale

ContinuitéTVI, théorème de la bijection

Définir la continuité, utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et le théorème de la bijection.

Guiz, la mascotte boss des maths de Terminale

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Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Définir la continuité en un point et sur un intervalle.
✓Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (TVI).
✓Appliquer le théorème de la bijection sur un intervalle.

▤Prérequis

Limites de fonctions
Fonctions de référence
Variations

Fiche de cours

Comprendre avant d'apprendre

Une fonction est continue si on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. Autrement dit, il n'y a pas de "coupure", de "trou" ou de "saut". La continuité est essentielle pour garantir que les images intermédiaires sont atteintes (TVI) et que les fonctions strictement monotones sont bijectives.

Continuité en un point a

$f$ est continue en $a$ si et seulement si :

★ Formule à retenir

\li

m_{x \to a}

f(x) = f(a)

✱Exemple

›La courbe $C_{f}$ passe par le point $A (a; f (a))$ sans "trou" ni "saut".

Continuité sur un intervalle I

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Conséquences :
✓ Les fonctions polynomiales, rationnelles (là où elles sont définies), exponentielle, logarithme, trigonométriques sont continues sur leur domaine.
✓ La somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus.

Cas particuliers en a

Soit $f$ définie au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$ ).

• Si

lim_{x \to a} f (x) = + \infty

- \infty

f

n'est pas continue en

a

(asymptote verticale).

• Si $lim_{x \to a} f (x)$ existe mais est différent de $f (a)$ : $f$ n'est pas continue en $a$ (saut).

Théorèmes clés

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a; b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe au moins un $c \in [a; b]$ tel que $f (c) = k$ .

Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f (I)$ .

Méthode

Vérifier la continuité en un point a : vérifier que $f (a)$ est défini → calculer $lim_{x \to a} f (x)$ → comparer avec $f (a)$ . Si $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ alors $f$ est continue en $a$ .

Utiliser le TVI : vérifier que $f$ est continue sur $[a; b]$ → vérifier que $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ → conclure qu'il existe $c \in [a; b]$ tel que $f (c) = k$ .

Utiliser le théorème de la bijection : montrer que $f$ est continue sur $I$ → montrer que $f$ est strictement monotone sur $I$ → conclure que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f (I)$ .

Exemples corrigés

Ex.1 — Continuité en un point. Soit $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ et $f (1) = 2$ . $lim_{x \to 1} \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f (1)$ . Conclusion : $f$ est continue en 1.

Ex.2 — TVI. Soit $f (x) = x^{3} - 3 x$ sur $[0; 2]$ . $f$ est continue sur $[0; 2]$ . $f (0) = 0$ et $f (2) = 2$ . $0$ est compris entre $f (0)$ et $f (2)$ , donc il existe $c \in [0; 2]$ tel que $f (c) = 0$ .

Ex.3 — Bijection. Soit $f (x) = e^{x}$ sur $R$ . $f$ est continue sur $R$ et $f^{'} (x) = e^{x} > 0$ , donc $f$ est strictement croissante. Par le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $R$ sur $] 0; + \infty [$ .

⚠ Erreur fréquente

❌ Oublier de vérifier que $f (a)$ est défini.
❌ Confondre $lim_{x \to a} f (x)$ et $f (a)$ .
❌ Ne pas vérifier la continuité aux bornes d'un intervalle fermé.
❌ Oublier la condition de stricte monotonie pour la bijection.

★ À retenir

✅ La continuité signifie « pas de coupure ».
✅ Continuité en $a$ : $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .
✅ TVI : $f$ continue sur $[a; b]$ ⇒ toutes les valeurs intermédiaires sont atteintes.
✅ Bijection : $f$ continue et strictement monotone ⇒ $f$ est bijective de $I$ sur $f (I)$ .

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Continuité »

Étape 1

Vérifier la continuité

Fonction usuelle, somme, produit, composée : justifie en une phrase.

Étape 2

Étudier les variations

Dérivée puis tableau : c'est le préalable au théorème des valeurs intermédiaires.

Étape 3

Appliquer le TVI

Continue + strictement monotone + changement de signe ⇒ solution unique.

Étape 4

Encadrer la solution

Balayage à la calculatrice pour donner un encadrement à 10⁻² près.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en $a$ , un seul des trois cas suivants suffit : $f (a)$ n'existe pas ; $lim_{x \to a} f (x)$ n'existe pas ou est infini ; $lim_{x \to a} f (x) \neq = f (a)$ .

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

9 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Soit

f (x) = 2 x + 1

f

est-elle continue en 3 ?

2. Une fonction polynôme est-elle continue sur

R

3. Donne un exemple de fonction discontinue en 0.

Niveau 2 — Pratique

1. Soit

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

pour

x \neq = 2

f (2) = 4

f

est-elle continue en 2 ?

2. Montre par le TVI que l'équation

x^{3} - x - 1 = 0

admet une solution dans

[1; 2]

f (x) = x^{3} + x

est-elle bijective sur

R

? Justifie.

Niveau 3 — Défi

1. Montre par le TVI que

f (x) = x^{3} - 3 x + 1

admet trois racines réelles.

2. Étudie la bijection de

f (x) = \frac{x}{x + 1}

sur

] - 1; + \infty [

3. Soit

f

continue sur

[0; 1]

avec

f (0) = 1

f (1) = 0

. Montre qu'il existe

c \in [0; 1]

tel que

f (c) = c

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.

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