Calculer une dérivée, étudier les variations et la convexité d'une fonction, déterminer ses points d'inflexion.
La dérivée mesure la pente de la courbe : si elle est positive, la fonction monte ; si elle est négative, elle descend.
La convexité décrit la « forme » de la courbe : convexe si elle est tournée vers le haut, concave si elle est tournée vers le bas.
Un point d'inflexion est le point où la courbe change de convexité.
La fonction dérivée de est notée . Pour tout du domaine de :
Soit dérivable sur un intervalle .
Soit deux fois dérivable sur un intervalle .
La courbe est au-dessus de ses tangentes si convexe, au-dessous si concave.
Si change de signe en , alors la courbe admet un point d'inflexion en . En ce point, la courbe change de convexité.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| (constante) | |
| (avec ) |
Calculer une dérivée : décomposer en sommes, produits, quotients → utiliser les règles → simplifier.
Étudier les variations : calculer → résoudre → dresser le tableau de signe de → en déduire le tableau de variations.
Étudier la convexité : calculer → résoudre → dresser le tableau de signe de → en déduire les intervalles de convexité.
Chercher les points d'inflexion : résoudre → vérifier le changement de signe → calculer et écrire le point .
Ex.1 — Dérivée et variations. Soit sur . . ou . croît sur et sur , décroît sur . admet un maximum local en 0 () et un minimum local en 2 ().
Ex.2 — Convexité et point d'inflexion. Soit sur . et . . est concave sur , convexe sur . change de signe en 0, donc la courbe admet un **point d'inflexion en **.
Ex.3 — Convexité sans point d'inflexion. Soit sur . et . Or pour tout , donc est convexe sur et n'a pas de point d'inflexion.
❌ Confondre et .
❌ Oublier de déterminer le signe de avant de faire le tableau de variations.
❌ Croire qu'un point où est forcément un point d'inflexion (il faut vérifier le changement de signe).
❌ Oublier de calculer pour donner l'ordonnée du point d'inflexion.
✅ Le signe de détermine les variations.
✅ Le signe de détermine la convexité.
✅ Un point d'inflexion : changement de signe de .
✅ Toujours justifier avec des calculs et des tableaux.
Somme, produit, quotient, composée : choisis la règle avant de dériver.
Terme par terme, en écrivant les formules usuelles utilisées.
Résous f'(x) = 0 puis fais le tableau de signes.
Tableau de variations, extremums, et interprétation dans le contexte.
Pour le tableau de variations, repère bien les points où et étudie le signe de entre ces points. Un schéma rapide de la courbe t'aide à visualiser la situation !
Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.
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