Chapitre 5 sur 10 · Terminale

Fonction logarithmePropriétés et étude complète

Maîtriser la fonction logarithme népérien, ses propriétés algébriques, ses limites et son utilisation dans la résolution d'équations.

Guiz, la mascotte boss des maths de Terminale

Mode Boss 👑

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Connaître et utiliser les propriétés du logarithme népérien.
✓Calculer des logarithmes.
✓Résoudre des équations et inéquations avec $ln$ .
✓Étudier la fonction $ln$ : variations, limites, dérivée, courbe.

▤Prérequis

Fonction exponentielle
Dérivation
Équations & inéquations

Fiche de cours

Comprendre avant d'apprendre

Le logarithme est l'opération inverse de l'exponentielle. Si $e^{x} = a$ (avec $a > 0$ ), alors le logarithme népérien de $a$ est le nombre $x$ .

★ Formule à retenir

\ln(a) = x ⇔

e^{x}

= a (a > 0)

✱Exemple

›La fonction $ln$ permet de "ramener" des nombres très grands à des nombres plus petits, et inversement. Elle est très utilisée en mathématiques et de nombreux domaines (physique, économie…).

Définitions

• La fonction $ln$ est définie et continue sur $] 0; + \infty [$ .
• Elle est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ .
• $ln :] 0; + \infty [\to R$ .

Valeurs remarquables : $ln (1) = 0$ , $ln (e) = 1$ , $ln (e^{k}) = k$ pour tout $k \in R$ .

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tout réel $k$ :

Propriété	Formule
Produit	$ln (a b) = ln (a) + ln (b)$
Quotient	$ln (\frac{a}{b}) = ln (a) - ln (b)$
Puissance	$ln (a^{k}) = k ln (a)$
Inverse	$ln (\frac{1}{a}) = - ln (a)$
Composition	$e^{l n (a)} = a$ et $ln (e^{x}) = x$

Dérivée

La fonction $ln$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et pour tout $x > 0$ :

★ Formule à retenir

(\ln x)' =

\frac{1}{x}

✱Exemple

›Conséquence : la fonction $ln$ est strictement croissante car $\frac{1}{x} > 0$ pour $x > 0$ .

Limites et asymptotes

Limites :

lim_{x \to 0^{+}} ln x = - \infty

lim_{x \to + \infty} ln x = + \infty

Asymptote : la droite $x = 0$ est une asymptote verticale à la courbe de $ln$ .

Méthodes

Calculer une expression : utiliser les propriétés pour simplifier.

*Exemple :*

ln (3 x^{2}) - ln (\frac{x}{e}) = ln 3 + 2 ln x - ln x + 1 = ln 3 + ln x + 1

Résoudre une équation :

ln (2 x - 1) = 3 \Leftrightarrow 2 x - 1 = e^{3} \Leftrightarrow x = \frac{e ^{3} + 1}{2}

(condition :

2 x - 1 > 0

, ok).

Résoudre une inéquation : $ln (x + 2) \geq 1 \Leftrightarrow x + 2 \geq e \Leftrightarrow x \geq e - 2$ . Condition : $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > - 2$ . Solution : $x \in [e - 2; + \infty [$ .

**Étudier une fonction avec $ln$ :** domaine → limites aux bornes → dérivée et signe de $f^{'}$ → tableau de variations → courbe et asymptotes.

Exemple entièrement corrigé

Soit

f (x) = ln (x) - \frac{2}{x}

sur

] 0; + \infty [

1. Limites : $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = - \infty$ (car $ln x \to - \infty$ et $- \frac{2}{x} \to - \infty$ ). $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ (car $ln x \to + \infty$ et $- \frac{2}{x} \to 0$ ).

2. Dérivée :

f^{'} (x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}} = \frac{x + 2}{x ^{2}} > 0

sur

] 0; + \infty [

3. Variations : $f$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ .

⚠ Erreur fréquente

❌ Oublier que $ln$ est définie seulement pour $x > 0$ .
❌ Écrire $ln (a + b) = ln a + ln b$ (faux !).
❌ Confondre $ln (x^{k})$ et $(ln x)^{k}$ .
❌ Oublier de vérifier le domaine après avoir résolu une équation ou une inéquation.

★ À retenir

✅ $ln$ est définie sur $] 0; + \infty [$ et strictement croissante.
✅ $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ et $ln x$ admet une asymptote verticale : $x = 0$ .
✅ $ln$ et $e^{x}$ sont des fonctions réciproques.
✅ Les propriétés algébriques sont indispensables !

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Fonction logarithme »

Étape 1

Traduire l'équivalence

ln(x) = y ⇔ x = e^y, avec x > 0 : commence toujours par le domaine.

Étape 2

Utiliser les propriétés

ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a.

Étape 3

Résoudre

Regroupe en un seul ln, puis passe à l'exponentielle.

Étape 4

Vérifier le domaine

Élimine les solutions qui rendent négatif un argument du logarithme.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour résoudre $ln (u (x)) = ln (v (x))$ avec $u (x), v (x) > 0$ , il suffit de résoudre $u (x) = v (x)$ puis de vérifier que les deux expressions sont bien positives. Le $ln$ est l'inverse de l'exponentielle !

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

11 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Calcule

ln (1)

ln (e)

2. Simplifie

ln (e^{3})

3. Donne

ln (2) + ln (5)

sous forme d'un seul logarithme.

4. Calcule la dérivée de

f (x) = ln (x)

Niveau 2 — Pratique

1. Résous

ln (2 x - 1) = 3

2. Résous

ln (x + 2) \geq 1

3. Simplifie

ln (5 x^{3}) + ln (\frac{e ^{2}}{x})

pour

x > 0

4. Calcule la dérivée de

f (x) = x ln (x)

Niveau 3 — Défi

1. Étudie

f (x) = ln (x) - \frac{2}{x}

sur

] 0; + \infty [

(variations).

2. Résous

ln (x^{2} - 1) = ln (3 x - 3)

3. Étudie les limites et variations de

f (x) = \frac{ln x}{x}

sur

] 0; + \infty [

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.

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