Chapitre 6 sur 10 · Terminale

Fonction exponentiellePropriétés avancées et équations

Maîtriser les propriétés de $e^{x}$ , étudier complètement la fonction exponentielle, résoudre des équations et inéquations, et modéliser des phénomènes réels (croissance, décroissance…).

Guiz, la mascotte boss des maths de Terminale

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Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Maîtriser les propriétés algébriques de $e^{x}$ .
✓Étudier complètement la fonction exponentielle.
✓Résoudre des équations et inéquations avec $e^{x}$ .
✓Modéliser des situations réelles.

▤Prérequis

Dérivation
Fonction logarithme
Calcul algébrique

Fiche de cours

Comprendre avant d'apprendre

La fonction exponentielle modélise les situations où une grandeur évolue à un taux proportionnel à sa valeur actuelle.

Exemples :
• Croissance d'une population
• Intérêts composés
• Radioactivité
• Refroidissement d'un objet

Définitions et domaine

$e$ est un nombre irrationnel : $e \approx 2, 71828$ .

La fonction exponentielle est définie sur

R

par

f (x) = e^{x}

Elle est strictement positive : $e^{x} > 0$ pour tout $x \in R$ .

Valeurs remarquables :

e^{0} = 1

e^{1} = e

e^{- 1} = \frac{1}{e}

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ :

Propriété	Formule
Produit	$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$
Quotient	$e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$
Puissance	$(e^{a})^{b} = e^{ab}$
Inverse	$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$
Comparaison	$e^{a} > 1 \Leftrightarrow a > 0$

Dérivée et variations

f^{'} (x) = (e^{x})^{'} = e^{x} > 0

pour tout

x

Donc $f$ est strictement croissante sur $R$ .

Conséquences : $e^{x}$ n'admet pas de minimum. Image : $e^{x}$ prend toutes les valeurs de $] 0; + \infty [$ .

Limites et asymptotes

x \to - \infty lim e^{x} = 0

(la courbe s'approche de l'axe des abscisses).

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty

Asymptote horizontale :

y = 0

- \infty

Méthodes — Résoudre une équation $e^{x} = a$ (avec $a > 0$ )

1. Vérifier que

a > 0

.
2. Utiliser la fonction

ln

e^{x} = a \Leftrightarrow x = ln (a)

✱Exemples

›Résoudre $e^{x} = 7$ : $x = ln (7)$ , donc $S = {ln (7)}$ .
›Résoudre $e^{2 x + 1} = e^{x - 3}$ : $2 x + 1 = x - 3 \Leftrightarrow x = - 4$ .

Méthodes — Résoudre une inéquation

$e^{x}$ est strictement croissante, donc :

•

e^{u (x)} > e^{v (x)} \Leftrightarrow u (x) > v (x)

•

e^{u (x)} < e^{v (x)} \Leftrightarrow u (x) < v (x)

✱Exemple

›Résoudre $e^{3 x - 2} \geq e^{x + 5}$ : $3 x - 2 \geq x + 5 \Leftrightarrow x \geq \frac{7}{2}$ .

Pièges à éviter

❌ Penser que

e^{a + b} = e^{a} + e^{b}

(faux !).

❌ Oublier que $e^{x}$ est toujours positif.
❌ Confondre $e^{x}$ et $ln (x)$ .
❌ Oublier le domaine du logarithme : $ln (x)$ existe seulement pour $x > 0$ .

★ À retenir

✅ $e^{x}$ est définie sur $R$ et toujours positive.
✅ $e^{x}$ est strictement croissante.
✅ $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .
✅ $x \to - \infty lim e^{x} = 0$ et $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ .
✅ Asymptote horizontale $y = 0$ en $- \infty$ .

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Fonction exponentielle »

Étape 1

Retenir les propriétés

e^{a+b} = e^a × e^b, e^{−a} = 1/e^a, (e^a)^n = e^{na}.

Étape 2

Transformer avant de résoudre

Ramène-toi à e^A = e^B, puis A = B (la fonction est strictement croissante).

Étape 3

Dériver

(e^u)' = u' e^u : identifie u avant tout calcul.

Étape 4

Limites et courbe

Croissance comparée : l'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances.

✦Astuce GUIZMATHS

Dès que tu vois une équation contenant seulement des exponentielles, pense au logarithme : $e^{u (x)} = e^{v (x)} \Leftrightarrow u (x) = v (x)$ . C'est la clé pour simplifier !

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

11 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Calcule

e^{0}

e^{1}

2. Simplifie

e^{3} \times e^{- 1}

sous la forme

e^{n}

3. Simplifie

\frac{e ^{5}}{e ^{2}}

sous la forme

e^{n}

4. Donne la dérivée de

f (x) = e^{x}

Niveau 2 — Pratique

1. Résous

e^{x} = 7

2. Résous

e^{2 x + 1} = e^{x - 3}

3. Résous

e^{3 x - 2} \geq e^{x + 5}

4. Sachant que

1 \leq x \leq 3

, encadre

e^{x}

Niveau 3 — Défi

1. Étudie les variations de

f (x) = x e^{x}

sur

R

2. Résous

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0

(poser

X = e^{x}

3. Détermine les limites en

\pm \infty

g (x) = \frac{e ^{x}}{x}

Défi GUIZMATHS

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.