Chapitre 7 sur 10 · Terminale

IntégrationPrimitives, intégrale, calcul d'aires

Calculer des primitives, des intégrales, utiliser les propriétés de l'intégrale et calculer l'aire d'une surface plane.

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Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Calculer des primitives.
✓Calculer des intégrales.
✓Utiliser les propriétés de l'intégrale.
✓Calculer l'aire d'une surface plane.

▤Prérequis

Dérivation
Fonction exponentielle
Fonction logarithme

Fiche de cours

Comprendre avant d'apprendre

L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. Si $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ , alors la dérivée de $F$ est $f$ .

L'intégrale permet notamment de calculer des aires et des volumes, en additionnant une infinité de petites contributions.

Primitive

F

est une primitive de

f

sur

I

F^{'} (x) = f (x)

pour tout

x \in I

Notation :

F

est une primitive de

f

sur

I

⇔

F \in P_{f} (I)

Ensemble des primitives : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors toutes les primitives sont de la forme $F (x) + k$ où $k \in R$ .

Propriétés des primitives

•

(k u)^{'} = k u^{'}

(avec

k \in R

)
•

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

• Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$ , alors $F - G$ est une primitive de $0$ donc $F - G$ est constante sur $I$ .

Primitives usuelles

Tableau des primitives à connaître par cœur :

$f (x)$	Une primitive $F (x)$
$a$ (constante)	$a x$
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$ ( $x > 0$ )	$ln (x)$
$e^{x}$	$e^{x}$
$cos (x)$	$sin (x)$
$sin (x)$	$- cos (x)$

Intégrale et primitive

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ :

★ Formule à retenir

\int f (x) d x = F (x) + k (k \in R)

Intégrale définie

Si $f$ est continue sur $[a; b]$ :

★ Formule à retenir

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Propriétés de l'intégrale

•

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0

•

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x

• Linéarité :

\int_{a}^{b} (f + g) (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

• Relation de Chasles :

\int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f = \int_{a}^{c} f

Aire sous une courbe

Si $f \geq 0$ sur $[a; b]$ :

A = \int_{a}^{b} f (x) d x

(en unités d'aire).

Si $f$ change de signe sur $[a; b]$ : on calcule l'aire en séparant les parties où $f$ est positive et où $f$ est négative.

Méthodes

Calculer une intégrale définie :
1. Trouver une primitive $F$ de $f$ sur $[a; b]$ .
2. Calculer $F (b) - F (a)$ .

Calculer une aire :
1. Vérifier le signe de $f$ sur l'intervalle.

2. Si

f \geq 0

, alors

A = \int_{a}^{b} f (x) d x

3. Sinon, découper l'intervalle aux zéros et additionner les aires positives.

✱Exemples

› $\int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = x^{3} - 2 x^{2} + x + k$
› $\int_{0}^{2} (x^{2} + 2 x) d x = [\frac{x ^{3}}{3} + x^{2}]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}$

Pièges à éviter

❌ Oublier la constante $k$ dans une primitive.
❌ Confondre $\int_{a}^{b} f (x) d x$ avec $[F (x)]_{a}^{b}$ sans appliquer.
❌ Oublier de vérifier le signe de $f$ pour calculer une aire.
❌ Se tromper de signe dans les bornes.

★ À retenir

✅ L'intégration est l'inverse de la dérivation.
✅ Toute primitive est définie à une constante près.
✅ $\int_{a}^{b} f (x) d x$ donne une aire (avec signe).
✅ Toujours analyser le signe de $f$ avant un calcul d'aire.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Intégration »

Étape 1

Chercher une primitive

Repère la forme u'u^n, u'/u, u'e^u avant de te lancer.

Étape 2

Calculer l'intégrale

F(b) − F(a) : attention aux signes lors de la soustraction.

Étape 3

Interpréter en aire

Aire sous la courbe si f ≥ 0 ; sinon découpe selon le signe de f.

Étape 4

Utiliser les propriétés

Relation de Chasles, linéarité, valeur moyenne : elles simplifient beaucoup de calculs.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour trouver rapidement une primitive : pense aux modèles linéaire ( $a x + b$ ), puissance ( $x^{n}$ , $n \neq = - 1$ ), exponentielle ( $e^{x}$ ), inverse ( $\frac{1}{x}$ ). Décompose si besoin !

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

11 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Donne une primitive de

f (x) = 3 x^{2}

2. Donne une primitive de

f (x) = e^{x}

3. Calcule

\int_{0}^{1} x d x

4. Calcule

\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x

(donne en

ln

Niveau 2 — Pratique

1. Calcule

\int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x

2. Calcule

\int_{0}^{2} (x^{2} + 2 x) d x

3. Calcule l'aire entre

y = x^{2}

et l'axe des abscisses sur

[0; 3]

4. Calcule

\int_{0}^{1} e^{x} d x

Niveau 3 — Défi

1. Calcule l'aire entre la courbe

y = x^{3} - x

et l'axe des abscisses sur

[- 1; 1]

2. Détermine la primitive de

f (x) = 2 x e^{x^{2}}

qui s'annule en

0

3. Calcule

\int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x

Défi GUIZMATHS

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.

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