Comprendre la dérivation, calculer la dérivée d'une fonction, étudier ses variations et résoudre des problèmes d'optimisation.
On cherche souvent à comprendre comment une fonction évolue : à quelle vitesse roule une voiture, quand une entreprise réalise son bénéfice maximal, à quel moment une courbe monte ou descend. La dérivation mesure le taux de variation instantané d'une fonction.
Le nombre dérivé d'une fonction f en un point a, noté f'(a), représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Graphiquement :
À chaque fonction f, on associe une nouvelle fonction appelée fonction dérivée, notée f'(x). Elle permet de connaître le sens de variation de f sur tout son domaine.
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
| n· | |
| −² | |
| 1/(2) | |
Étape 1 : calculer la dérivée.
Étape 3 : étudier le signe de f'(x).
Étape 4 : construire le tableau de variations.
Un maximum est la plus grande valeur prise par f. Un minimum est la plus petite. Ils apparaissent souvent lorsque f'(x) = 0.
⚠️ Une dérivée nulle ne garantit pas toujours un extremum : il faut vérifier le changement de signe de la dérivée.
La dérivation permet de chercher une aire maximale, un coût minimal, un bénéfice maximal, une distance minimale.
Méthode : modéliser avec une fonction, calculer la dérivée, étudier son signe, conclure.
Erreurs fréquentes : oublier de dériver chaque terme ; penser que (x²)' = x (c'est 2x !) ; se tromper sur la dérivée d'une constante (elle vaut 0) ; confondre la fonction et sa dérivée.
✅ Le nombre dérivé est la pente de la tangente.
✅ La fonction dérivée donne les variations.
✅ f'(x) > 0 ⇒ f croissante. f'(x) < 0 ⇒ f décroissante.
✅ Les extremums se trouvent en étudiant f'(x) = 0 et le signe de f'.
Somme, produit, quotient, composée : choisis la règle avant de dériver.
Terme par terme, en écrivant les formules usuelles utilisées.
Résous f'(x) = 0 puis fais le tableau de signes.
Tableau de variations, extremums, et interprétation dans le contexte.
Pour étudier une fonction, retiens cette chaîne :
Fonction → Dérivée → Signe → Variations → Conclusion. Elle marche dans la quasi-totalité des exercices de Première !
Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.
Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.
Mets-toi en condition : chrono, exercices durs, +50 XP à la clé. Bientôt disponible 🚀
Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.
