Chapitre 4 sur 8 · Première

Fonction exponentielle

Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle, résoudre des équations et inéquations avec $e^{x}$ et étudier ses variations.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Connaître la définition et les propriétés de $e^{x}$ .
✓Résoudre des équations et inéquations avec l'exponentielle.
✓Étudier les variations et les limites de la fonction.
✓Reconnaître les erreurs algébriques classiques.

▤Prérequis

Puissances
Dérivation
Calcul littéral

Fiche de cours

Pourquoi la fonction exponentielle ?

La fonction exponentielle modélise des phénomènes où une grandeur évolue de manière proportionnelle à sa valeur actuelle :
• les intérêts composés ;
• la croissance d'une population ;
• la radioactivité ;
• de nombreux phénomènes physiques.

Définition

La fonction exponentielle est notée f(x) = $e^{x}$ où e est un nombre irrationnel proche de e ≈ 2,71828.

Les propriétés essentielles

Pour tous réels a et b :

•

e^{0}

= 1
•

e^{1}

= e
•

e^{a + b}

e^{a}

e^{b}

•

e^{a - b}

\frac{e ^{a}}{e ^{b}}

• (

e^{a}

)^{b}

e^{ab}

La dérivée

La fonction exponentielle est remarquable car **( $e^{x}$ )' = $e^{x}$ **. Sa dérivée est identique à la fonction.

Variations et limites

Comme $e^{x}$ > 0 pour tout réel, la fonction est strictement croissante sur ℝ.

• Lorsque x → −∞, alors

e^{x}

→ 0.
• Lorsque x → +∞, alors

e^{x}

→ +∞.

Résoudre une équation ou une inéquation

Équation : $e^{x}$ = 7. On applique le logarithme népérien : x = ln(7).

Inéquation : $e^{x}$ > 5. Comme la fonction est croissante : x > ln(5).

✱Exemples

› $e^{x}$ = 7 ⟺ x = ln(7)
› $e^{x}$ > 5 ⟺ x > ln(5)

Erreurs fréquentes

❌ Croire que

e^{a + b}

e^{a}

e^{b}

. C'est faux.

❌ Oublier que $e^{x}$ est toujours positif.
❌ Confondre exponentielle et puissance.

★ À retenir

✅ $e^{x}$ > 0 pour tout réel x.
✅ La fonction est strictement croissante.
✅ Sa dérivée est elle-même.
✅ Les propriétés algébriques sont indispensables.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Fonction exponentielle »

Étape 1

Retenir les propriétés

e^{a+b} = e^a × e^b, e^{−a} = 1/e^a, (e^a)^n = e^{na}.

Étape 2

Transformer avant de résoudre

Ramène-toi à e^A = e^B, puis A = B (la fonction est strictement croissante).

Étape 3

Dériver

(e^u)' = u' e^u : identifie u avant tout calcul.

Étape 4

Limites et courbe

Croissance comparée : l'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances.

✦Astuce GUIZMATHS

Dès que tu vois une équation avec uniquement des exponentielles, pense immédiatement au logarithme népérien.

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

8 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Calcule

e^{0}

2. Simplifie

e^{2}

e^{3}

(donne sous la forme

e^{n}

3. Simplifie

\frac{e ^{5}}{e ^{2}}

(donne sous la forme

e^{n}

Niveau 2 — Pratique

1. Résous

e^{x}

= 7 (donne x en fonction de ln).

2. Résous

e^{x}

> 5 (donne l'ensemble des solutions).

3. Dérive f(x) =

e^{x}

Niveau 3 — Défi

1. Résous

e^{2 x}

= 9 (donne x en fonction de ln).

2. Étudie les variations de f(x) = x·

e^{x}

sur ℝ.

Défi GUIZMATHS

★

Prêt·e à relever le défi ?

Mode Défi · Fonction exponentielle

Mets-toi en condition : chrono, exercices durs, +50 XP à la clé. Bientôt disponible 🚀

Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.