Chapitre 10 sur 10 · Prépa

Équations différentiellesLinéaires d'ordre 1 et 2, problème de Cauchy

Équations différentielles linéaires en prépa : premier ordre, second ordre à coefficients constants, méthodes (variation de la constante, coefficients indéterminés), problème de Cauchy.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Résoudre une EDL d'ordre 1.
✓Maîtriser les EDL d'ordre 2 à coefficients constants.
✓Appliquer la variation de la constante.
✓Résoudre un problème de Cauchy.

▤Prérequis

Étude de fonctions
Intégration
Nombres complexes

Fiche de cours

EDL du premier ordre

Forme

y^{'} + a (x) y = b (x)

★ Formule à retenir

y = y_{h} + y_{p}

avec

y_{h} = C e^{- A (x)}

A^{'} = a

Cas à coefficients constants

y^{'} + a y = b

a pour solution :

★ Formule à retenir

y = C e^{- a x} + \frac{b}{a}

Variation de la constante

Pour trouver $y_{p}$ : poser $y = C (x) e^{- A (x)}$ et reporter dans l'équation. On obtient $C^{'} (x)$ , qu'on intègre.

EDL d'ordre 2 homogène

Forme

a y^{''} + b y^{'} + cy = 0

. Équation caractéristique :

a r^{2} + b r + c = 0

Solutions selon le discriminant

Trois cas :

Cas	Solution générale
$Δ > 0$ : deux racines $r_{1}, r_{2}$	$y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
$Δ = 0$ : racine double $r$	$y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r x}$
$Δ < 0$ : $α \pm i β$	$y = e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$

Second ordre avec second membre

Méthodes : coefficients indéterminés (essayer une forme adaptée au second membre) ou variation des constantes.

Problème de Cauchy

Une condition initiale $(y (x_{0}), y^{'} (x_{0}))$ détermine de manière unique les constantes. Sous des hypothèses de continuité, existence et unicité.

Stabilité

Étudier le signe (ou la partie réelle) des racines de l'équation caractéristique.

★ À retenir

✅ EDL ordre 1 : $y = y_{h} + y_{p}$ .
✅ Variation de la constante.
✅ Équation caractéristique (ordre 2) — 3 cas.
✅ Problème de Cauchy : existence & unicité.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Équations différentielles »

Étape 1

Identifier le type

y' = ay, y' = ay + b, ou avec second membre : la solution générale en dépend.

Étape 2

Solution générale

y = C e^{ax} pour y' = ay ; ajoute la solution particulière constante sinon.

Étape 3

Condition initiale

Remplace x et y par les valeurs données pour déterminer C.

Étape 4

Interpréter

Reviens au modèle (croissance, refroidissement, circuit) et commente.

✦Astuce GUIZMATHS

Solution générale = solution homogène + solution particulière. Pour la particulière, essaye d'abord une forme similaire au second membre (coefficients indéterminés).

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

12 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Résous

y^{'} + 2 y = 0

2. Résous

y^{'} = 3 y + 1

3. Résous

y^{''} - 4 y = 0

4. Résous

y^{''} + y = 0

Niveau 2 — Pratique

1. Résous

y^{'} + y = e^{x}

par variation de la constante.

2. Résous

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0

avec

y (0) = 1

y^{'} (0) = 0

3. Résous

y^{''} + 2 y^{'} + y = 0

4. Résous

y^{''} + 4 y = cos (2 x)

Niveau 3 — Défi

1. Résous

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = e^{- x} sin (2 x)

2. Démontre l'unicité de la solution au problème de Cauchy pour

y^{'} + a (x) y = b (x)

3. Résous

x y^{'} - y = x^{2}

sur

] 0, + \infty [

4. Étudie la stabilité de

y^{''} + 2 α y^{'} + y = 0

selon

α \in R

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Corrigés

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