Chapitre 9 sur 10 · Prépa

ProbabilitésConditionnement, Bayes, variables aléatoires, TCL

Probabilités en prépa : espace probabilisé, conditionnement, indépendance, formule de Bayes, variables aléatoires, lois usuelles et théorème central limite.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Maîtriser conditionnement et indépendance.
✓Appliquer la formule de Bayes.
✓Calculer espérance, variance, écart-type.
✓Connaître les lois usuelles (Bernoulli, binomiale, Poisson, normale).
✓Énoncer et appliquer le TCL.

▤Prérequis

Suites
Combinatoire

Fiche de cours

Probabilité

Sur un univers

Ω

0 \leq P (A) \leq 1

P (Ω) = 1

σ

-additivité.

Propriétés de base

Complémentaire :

P (A) = 1 - P (A)

.
Union :

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Conditionnement

Pour

P (B) > 0

★ Formule à retenir

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

Indépendance

A

B

sont indépendants ssi

P (A \cap B) = P (A) P (B)

Probabilités totales et Bayes

Probabilités totales :

P (A) = \sum_{i} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})

Formule de Bayes :

★ Formule à retenir

P (B_{i} ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B _{i} ) P ( B _{i} )}{\sum _{j} P ( A ∣ B _{j} ) P ( B _{j} )}

Variable aléatoire — espérance, variance

E (X)

: moyenne.

V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}

σ (X) = V (X)

Lois usuelles

À connaître par cœur :

Loi	Espérance	Variance
Bernoulli $B (p)$	$p$	$p (1 - p)$
Binomiale $B (n, p)$	$n p$	$n p (1 - p)$
Géométrique $G (p)$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1 - p}{p ^{2}}$
Poisson $P (λ)$	$λ$	$λ$
Normale $N (μ, σ^{2})$	$μ$	$σ^{2}$

Théorème central limite (TCL)

Sous des hypothèses d'iid et de variance finie, $\frac{X - μ}{σ / n}$ converge en loi vers $N (0, 1)$ .

★ À retenir

✅ Bayes et probabilités totales.
✅ Lois usuelles et leurs paramètres.
✅ $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ .
✅ TCL.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Probabilités »

Étape 1

Décrire l'expérience

Liste l'univers : quelles sont toutes les issues possibles ?

Étape 2

Compter

Cas favorables / cas possibles, en situation d'équiprobabilité.

Étape 3

Représenter

Arbre ou tableau : indispensable dès qu'il y a deux épreuves.

Étape 4

Vérifier

La somme des probabilités vaut 1, et chaque probabilité est entre 0 et 1.

✦Astuce GUIZMATHS

Avant d'appliquer Bayes, identifie clairement les événements (cause vs conséquence) et fais un arbre pondéré : la formule devient évidente.

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

12 questions

Niveau 1 — Initiation

1. On lance un dé équilibré. Calcule

P (obtenir un nombre pair)

P (A) = 0, 4

P (B) = 0, 5

P (A \cap B) = 0, 2

. Calcule

P (A \cup B)

X \sim B (10; 0, 3)

. Donne

E (X)

V (X)

4. Calcule

P (A ∣ B)

pour

P (A \cap B) = 0, 1

P (B) = 0, 25

Niveau 2 — Pratique

1. Une usine produit 2 % de pièces défectueuses. Sur 100 pièces, quelle est la probabilité d'en avoir au plus 3 défectueuses ?

2. Test médical : sensibilité 99 %, faux positif 5 %, prévalence 1 %. Calcule la probabilité d'être malade sachant test positif (Bayes).

X \sim P (3)

. Calcule

P (X \leq 2)

X \sim N (0, 1)

. Calcule

P (- 1, 96 \leq X \leq 1, 96)

Niveau 3 — Défi

1. Démontre que pour

X \sim B (n, p)

E (X) = n p

V (X) = n p (1 - p)

2. Soit

X

géométrique de paramètre

p

. Démontre

E (X) = 1/ p

3. Énonce le TCL et applique-le pour approcher

P (S_{n} \leq k)

où

S_{n}

est une somme binomiale.

4. Soit

X, Y

indépendantes de loi

P (λ)

P (μ)

. Montre que

X + Y \sim P (λ + μ)

Défi GUIZMATHS

★

Prêt·e à relever le défi ?

Mode Défi · Probabilités

Mets-toi en condition : chrono, exercices durs, +50 XP à la clé. Bientôt disponible 🚀

Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.

←

Polynômes

Chapitre suivant

Équations différentielles

→