Chapitre 8 sur 10 · Prépa

PolynômesRacines, factorisation, division euclidienne

Polynômes en prépa : degré, racines, multiplicité, théorèmes de Bézout et de factorisation, division euclidienne, PGCD, théorème de d'Alembert et relations de Viète.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Manipuler le degré et les opérations.
✓Maîtriser racines, multiplicité, factorisation.
✓Effectuer une division euclidienne.
✓Utiliser les relations coefficients-racines.

▤Prérequis

Algèbre linéaire
Nombres complexes

Fiche de cours

Définition et degré

P (X) = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}

avec

a_{n} \neq = 0

;

de g P = n

★ Formule à retenir

de g (P Q) = de g P + de g Q

Racines

a

est racine de

P

P (a) = 0

Théorème de Bézout (factorisation)

P (a) = 0 \Leftrightarrow (X - a) ∣ P

Multiplicité

$a$ est racine d'ordre $k$ si $(X - a)^{k} ∣ P$ et $(X - a)^{k + 1} ∤ P$ .

Caractérisation :

P (a) = P^{'} (a) = \dots = P^{(k - 1)} (a) = 0

P^{(k)} (a) \neq = 0

Théorème de factorisation

a_{1}, \dots, a_{n}

sont les racines (avec multiplicité),

P (X) = a_{n} (X - a_{1}) \dots (X - a_{n})

Division euclidienne

Pour $A, B$ avec $B \neq = 0$ , il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $A = B Q + R$ avec $de g R < de g B$ .

PGCD — algorithme d'Euclide

On itère les divisions euclidiennes : $g cd (A, B) = g cd (B, R)$ jusqu'à reste nul.

Théorème de d'Alembert-Gauss

Tout polynôme non constant de $C [X]$ admet au moins une racine. Conséquence : un polynôme de degré $n$ a exactement $n$ racines complexes (avec multiplicité).

Relations de Viète

Pour $X^{2} + b X + c$ de racines $x_{1}, x_{2}$ :

★ Formule à retenir

x_{1} + x_{2} = - b; x_{1} x_{2} = c

★ À retenir

✅ Bézout : $P (a) = 0 \Leftrightarrow (X - a) ∣ P$ .
✅ Factorisation.
✅ Division euclidienne.
✅ Algorithme d'Euclide.
✅ d'Alembert.
✅ Viète.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Polynômes »

Étape 1

Repérer le degré

Le degré oriente le nombre de racines et la méthode.

Étape 2

Chercher une racine évidente

Teste 0, 1, −1, 2 : une racine trouvée permet de factoriser.

Étape 3

Factoriser

Division euclidienne ou identification des coefficients.

Étape 4

Étudier le signe

Tableau de signes à partir de la forme factorisée.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour vérifier qu'un nombre est racine, évalue le polynôme : $P (a) = 0 \Leftrightarrow (X - a) ∣ P$ . Pour la multiplicité, dérive successivement.

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

12 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Donne le degré de

P (X) = (X^{2} + 1) (X^{3} - 2 X)

2. Vérifie que

1

est racine de

P (X) = X^{3} - 1

et factorise.

3. Donne le quotient et le reste de

X^{3} + 1

par

X + 1

4. Soit

X^{2} - 5 X + 6

. Donne la somme et le produit des racines.

Niveau 2 — Pratique

1. Détermine la multiplicité de

1

comme racine de

P (X) = X^{3} - 3 X + 2

2. Factorise

P (X) = X^{4} - 1

sur

R

puis sur

C

3. Calcule

g cd (X^{3} - 1, X^{2} - 1)

par Euclide.

4. Trouve

a, b

pour que

X^{2} + a X + b

ait

1

- 2

comme racines.

Niveau 3 — Défi

1. Soit

P \in R [X]

avec

P (a + ib) = 0

. Montre que

P (a - ib) = 0

2. Démontre que

P (X) = X^{n} - 1

se factorise en

\prod_{k = 0}^{n - 1} (X - e^{2 ik π / n})

3. Soient

x_{1}, x_{2}, x_{3}

racines de

X^{3} + pX + q

. Calcule

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}

4. Démontre l'unicité du couple

(Q, R)

dans la division euclidienne.

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.