Chapitre 7 sur 10 · Prépa

MatricesCalcul matriciel, déterminant, diagonalisation

Calcul matriciel en prépa : opérations, transposée, inverse, déterminant, trace, rang, valeurs propres et diagonalisation.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Maîtriser le calcul matriciel.
✓Calculer un déterminant et un inverse.
✓Identifier rang et trace.
✓Diagonaliser une matrice.

▤Prérequis

Algèbre linéaire

Fiche de cours

Définition et opérations

Une matrice

n \times p

est un tableau

A = (a_{ij})

Addition (mêmes tailles), scalaire, produit $A B$ défini si $# colonnes (A) = # lignes (B)$ .

★ Formule à retenir

(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}

Propriétés

• Associativité, distributivité.
• Non commutativité en général : $A B \neq = B A$ .

•

A I = I A = A

Transposée

(A^{T})_{ij} = a_{j i}

Propriétés :

(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}

;

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

Inverse

A

est inversible s'il existe

A^{- 1}

tel que

A A^{- 1} = I

★ Formule à retenir

det (A) \neq = 0 \Leftrightarrow A inversible

Déterminant

Pour une

2 \times 2

det (a c b d) = a d - b c

Propriétés :

det (A B) = det (A) det (B)

;

det (A^{T}) = det (A)

Trace

Somme des coefficients diagonaux :

★ Formule à retenir

tr (A) = \sum a_{ii}; tr (A B) = tr (B A)

Rang

rg (A) = dim (Im A)

. C'est le nombre de colonnes (ou lignes) linéairement indépendantes.

Valeurs propres et diagonalisation

A X = λ X

. Polynôme caractéristique

P_{A} (λ) = det (A - λ I)

Diagonalisable ssi

P_{A}

scindé et

\sum dim E_{λ} = n

Cayley-Hamilton

Toute matrice annule son polynôme caractéristique : $P_{A} (A) = 0$ .

Matrices remarquables

Diagonales, triangulaires, symétriques ( $A^{T} = A$ ), orthogonales ( $A^{T} A = I$ ).

★ À retenir

✅ Produit matriciel, transposée, inverse.
✅ Déterminant et trace.
✅ Polynôme caractéristique.
✅ Diagonalisation.
✅ Cayley-Hamilton.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Matrices »

Étape 1

Vérifier les dimensions

Un produit n'existe que si colonnes de A = lignes de B.

Étape 2

Calculer méthodiquement

Ligne × colonne : pose le calcul, n'improvise pas de tête.

Étape 3

Inverse et déterminant

det ≠ 0 ⇒ matrice inversible : calcule le déterminant en premier.

Étape 4

Application

Systèmes linéaires et transformations : traduis le problème en écriture matricielle.

✦Astuce GUIZMATHS

Avant de diagonaliser, vérifie toujours que $det (A - λ I) = 0$ est scindé et que la dimension de chaque sous-espace propre égale la multiplicité de la valeur propre.

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

12 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Calcule

A + B

A B

pour

A = (1324)

B = (0110)

2. Calcule

det (2153)

3. Donne la transposée de

A = (142536)

4. Calcule

tr (A)

pour

A = (1324)

Niveau 2 — Pratique

1. Calcule

A^{- 1}

pour

A = (1324)

2. Trouve le rang de

A = 121241361

3. Donne les valeurs propres et vecteurs propres de

A = (4213)

4. Vérifie Cayley-Hamilton pour

A = (2013)

Niveau 3 — Défi

1. Soit

A

telle que

A^{2} = A

. Montre que

A

est diagonalisable.

2. Calcule

A^{n}

pour

A = (2012)

3. Démontre que si

A

est inversible,

det (A^{- 1}) = 1/ det (A)

4. Diagonalise (si possible)

A = 100110002

Défi GUIZMATHS

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.