Chapitre 6 sur 10 · Prépa

Algèbre linéaireEspaces vectoriels, bases, rang, diagonalisation

Le socle d'algèbre linéaire en prépa : espaces vectoriels, familles, dimension, rang, valeurs propres, diagonalisation, produit scalaire et Gram-Schmidt.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Manipuler espaces et sous-espaces vectoriels.
✓Reconnaître familles libres, génératrices, bases.
✓Appliquer le théorème du rang.
✓Diagonaliser une matrice.
✓Maîtriser produit scalaire et orthogonalisation.

▤Prérequis

Matrices
Logique & ensembles

Fiche de cours

Espace vectoriel

Un $K$ -espace vectoriel est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire vérifiant 8 axiomes.

À vérifier : stabilité, associativité, neutre, opposé, distributivités.

Sous-espace vectoriel

$F \subset E$ est un s.e.v. si :
• $0 \in F$ ;
• $F$ est stable par addition ;
• $F$ est stable par multiplication scalaire.

Familles : libres, génératrices, bases

Libre :

\sum λ_{i} e_{i} = 0 \Rightarrow λ_{i} = 0

Génératrice : tout vecteur est combinaison linéaire.
Base : libre ET génératrice.

Dimension

Nombre de vecteurs d'une base.

Théorème : en dimension $n$ , plus de $n$ vecteurs ⇒ liée ; moins de $n$ ⇒ non génératrice.

Rang et théorème du rang

Pour $f : E \to F$ linéaire :

★ Formule à retenir

dim E = dim ker f + dim Im f

Valeurs propres

λ

est valeur propre de

A

s'il existe

X \neq = 0

tel que

A X = λ X

Polynôme caractéristique : $P_{A} (λ) = det (A - λ I)$ . Ses racines sont les valeurs propres.

★ Formule à retenir

P_{A} (λ) = det (A - λ I)

Diagonalisation

$A$ est diagonalisable ssi :
• le polynôme caractéristique est scindé ;
• la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$ .

Cas particulier : les matrices symétriques réelles sont toujours diagonalisables en base orthonormée (théorème spectral).

Produit scalaire

Définit norme, distance et orthogonalité.

Cauchy-Schwarz : $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥$ .
Triangulaire : $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ .

Pythagore : si

x ⊥ y

, alors

∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}

★ Formule à retenir

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥

Projection orthogonale et Gram-Schmidt

Projection sur $F$ de base orthonormée $(e_{i})$ :

★ Formule à retenir

p_{F} (x) = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}

★ À retenir

✅ Définition d'un e.v. et s.e.v.
✅ Familles libres/génératrices/bases.
✅ Théorème du rang.
✅ Diagonalisation.
✅ Cauchy-Schwarz, Pythagore.
✅ Gram-Schmidt.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Algèbre linéaire »

Étape 1

Poser le système

Écris toutes les équations proprement, une inconnue par colonne.

Étape 2

Pivot de Gauss

Élimine les inconnues une à une, en gardant la trace des opérations.

Étape 3

Interpréter

Solution unique, infinité ou aucune : relie-le au rang du système.

Étape 4

Vérifier

Réinjecte la solution dans les équations de départ.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour montrer qu'une famille est une base de $E$ avec $dim E = n$ , il suffit qu'elle ait $n$ vecteurs et soit libre OU génératrice — pas besoin de vérifier les deux !

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

12 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Montre que

F = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x + y + z = 0}

est un s.e.v. de

R^{3}

2. La famille

(1, X, X^{2})

est-elle libre dans

R [X]

3. Donne la dimension de

R^{n}

4. Trouve les valeurs propres de

A = (2003)

Niveau 2 — Pratique

1. Soit

f (x, y, z) = (x + y, y + z)

. Détermine

ker f

Im f

et vérifie le théorème du rang.

2. Diagonalise

A = (3012)

3. Applique Gram-Schmidt à

(1, X)

dans

R_{1} [X]

avec

⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P Q

4. Démontre Cauchy-Schwarz dans

R^{n}

Niveau 3 — Défi

1. Soit

A

symétrique. Démontre qu'elle est diagonalisable en base orthonormée.

2. Soit

f \in L (E)

avec

E

de dimension finie. Montre que

ker f \oplus Im f = E

ssi

ker f = ker f^{2}

3. Diagonalise

A = (1221)

et donne

A^{n}

4. Démontre que la projection orthogonale réalise le minimum de la distance à

F

Défi GUIZMATHS

★

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.