Chapitre 5 sur 10 · Prépa

Séries numériquesConvergence, critères, séries de référence

Étude des séries numériques : convergence, séries géométriques et de Riemann, critères de d'Alembert, de Cauchy, séries alternées et convergence absolue.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Connaître les séries de référence (géométriques, Riemann).
✓Maîtriser les critères de convergence (comparaison, d'Alembert, Cauchy, Leibniz).
✓Distinguer convergence simple et absolue.

▤Prérequis

Suites
Limites

Fiche de cours

Définition

Une série est

n = 0 \sum + \infty u_{n}

. La somme partielle est

S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k}

La série converge si $(S_{n})$ admet une limite finie.

Condition nécessaire

Si $\sum u_{n}$ converge, alors $u_{n} \to 0$ . ⚠️ La réciproque est fausse (ex : série harmonique).

★ Formule à retenir

\sum u_{n} converge \Rightarrow u_{n} \to 0

Série géométrique

\sum q^{n}

converge ssi

∣ q ∣ < 1

, et sa somme vaut :

★ Formule à retenir

n = 0 \sum + \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q}

∣ q ∣ < 1

Série de Riemann

Référence indispensable :

★ Formule à retenir

\sum \frac{1}{n ^{α}}

converge ssi

α > 1

Séries à termes positifs

Méthodes : comparaison, équivalent, critère de d'Alembert, critère de Cauchy, condensation.

Critère de comparaison

Si $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ et $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge.

Équivalent : si $u_{n} \sim v_{n}$ (termes positifs), les séries sont de même nature.

Critère de d'Alembert

Si $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \to ℓ$ : $ℓ < 1 \Rightarrow$ convergence ; $ℓ > 1 \Rightarrow$ divergence ; $ℓ = 1$ : on ne peut rien conclure.

Critère de Cauchy

n u_{n} \to ℓ

ℓ < 1 \Rightarrow

convergence ;

ℓ > 1 \Rightarrow

divergence.

Séries alternées (Leibniz)

Si $(u_{n})$ est décroissante et tend vers 0, alors $\sum (- 1)^{n} u_{n}$ converge.

Convergence absolue

Si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge (et on dit qu'elle converge absolument). La réciproque est fausse.

★ À retenir

✅ Géométriques : $∣ q ∣ < 1$ .
✅ Riemann : $α > 1$ .
✅ d'Alembert et Cauchy.
✅ Leibniz pour séries alternées.
✅ Convergence absolue ⇒ convergence.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Séries numériques »

Étape 1

Écrire la somme partielle

Définis S_n avant de parler de convergence.

Étape 2

Choisir le critère

Séries de référence (géométrique, Riemann), comparaison, d'Alembert.

Étape 3

Conclure sur la nature

Convergente ou divergente : nomme le critère utilisé.

Étape 4

Calculer la somme

Seulement pour les cas connus : géométrique ou télescopique.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour étudier une série, **commence toujours par $u_{n} \to 0$ ** : si la limite n'est pas nulle, la série diverge. Sinon, choisis le critère adapté au type de terme général.

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

12 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Étudie la convergence de

\sum \frac{1}{n ^{2}}

2. Calcule

n = 0 \sum + \infty (\frac{1}{3})^{n}

3. La série

\sum \frac{1}{n}

converge-t-elle ?

4. La série

\sum n

converge-t-elle ? Justifie.

Niveau 2 — Pratique

1. Étudie la nature de

\sum \frac{n !}{n ^{n}}

par d'Alembert.

2. Étudie

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

3. Étudie

\sum \frac{sin n}{n ^{2}}

4. Étudie

\sum \frac{1}{n ln n}

pour

n \geq 2

Niveau 3 — Défi

1. Démontre la divergence de la série harmonique

\sum \frac{1}{n}

2. Étudie selon

α > 0

la convergence de

\sum \frac{1}{n ^{α} ( ln n ) ^{β}}

3. Étudie la convergence et calcule la somme de

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 )}

4. Démontre que

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

converge mais pas absolument.

Défi GUIZMATHS

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.