Chapitre 4 sur 10 · Prépa

IntégrationPrimitives, IPP, changement de variable, intégrales impropres

Tout le calcul intégral en prépa : primitives usuelles, théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, intégrales impropres et critères de convergence.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Connaître les primitives usuelles.
✓Appliquer le théorème fondamental de l'analyse.
✓Maîtriser l'IPP et le changement de variable.
✓Étudier la convergence d'une intégrale impropre.

▤Prérequis

Étude de fonctions
Dérivées usuelles

Fiche de cours

Primitive

F

est une primitive de

f

sur

I

F^{'} (x) = f (x)

. Toute primitive s'écrit

F (x) + C

Primitives usuelles

À mémoriser :

Fonction	Primitive
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$\frac{a ^{x}}{ln a}$
$sin x$	$- cos x$
$cos x$	$sin x$
$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$arctan x$

Intégrale définie

Formule fondamentale :

★ Formule à retenir

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Propriétés

• Linéarité :

\int (α f + β g) = α \int f + β \int g

.
• Chasles :

\int_{a}^{c} = \int_{a}^{b} + \int_{b}^{c}

• Positivité : si $f \geq 0$ alors $\int_{a}^{b} f \geq 0$ .
• Croissance : si $f \leq g$ alors $\int f \leq \int g$ .
• Valeur absolue : $\int f \leq \int ∣ f ∣$ .

Théorème fondamental

f

est continue sur

I

, alors

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

est dérivable et

F^{'} (x) = f (x)

Intégration par parties (IPP)

À utiliser pour $x e^{x}$ , $x ln x$ , $x sin x$ , $x^{n} e^{x}$ …

★ Formule à retenir

\int_{a}^{b} u v^{'} = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v

Changement de variable

Avec

x = φ (t)

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t

⚠️ Bien changer les bornes.

Intégrales impropres

Étudier au voisinage d'un infini ou d'une singularité.

Critères : comparaison, équivalent, intégrales de Riemann.

Intégrale de Riemann

Critère fondamental :

★ Formule à retenir

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{α}}

converge ssi

α > 1

Erreurs classiques

❌ Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
❌ Confondre $ln x$ et $ln ∣ x ∣$ comme primitive de $1/ x$ .
❌ Conclure à la convergence sans vérifier les hypothèses.

★ À retenir

✅ IPP et changement de variable.
✅ Théorème fondamental.
✅ Critères de comparaison.
✅ Riemann : $α > 1$ .

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Intégration »

Étape 1

Chercher une primitive

Repère la forme u'u^n, u'/u, u'e^u avant de te lancer.

Étape 2

Calculer l'intégrale

F(b) − F(a) : attention aux signes lors de la soustraction.

Étape 3

Interpréter en aire

Aire sous la courbe si f ≥ 0 ; sinon découpe selon le signe de f.

Étape 4

Utiliser les propriétés

Relation de Chasles, linéarité, valeur moyenne : elles simplifient beaucoup de calculs.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour une IPP, choisis ** $u$ qui se simplifie en dérivant** (souvent $x$ , $ln x$ , $x^{n}$ ). Pour un changement de variable, n'oublie pas de changer les bornes !

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

12 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Calcule

\int_{0}^{1} x^{2} d x

2. Donne une primitive de

f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

3. Calcule

\int_{1}^{e} \frac{d x}{x}

4. Calcule

\int_{0}^{π} sin x d x

Niveau 2 — Pratique

1. Calcule

\int_{0}^{1} x e^{x} d x

par IPP.

2. Calcule

\int_{1}^{e} ln x d x

3. Par changement de variable

u = x^{2}

, calcule

\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x

4. Étudie la convergence de

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}}

Niveau 3 — Défi

1. Calcule

\int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x

(intégrales de Wallis) — relation de récurrence.

2. Étudie la nature de

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{α}}

selon

α

3. Démontre que

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x

converge.

4. Calcule

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}}

Défi GUIZMATHS

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.