Chapitre 3 sur 10 · Prépa

Étude de fonctionsDomaine, limites, dérivées, théorèmes fondamentaux

L'étude complète d'une fonction réelle en prépa : domaine, parité, périodicité, limites, équivalents, dérivabilité, variations, convexité, asymptotes, et les grands théorèmes (TVI, bijection, Rolle, TAF, Taylor).

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Déterminer rigoureusement un domaine de définition.
✓Calculer limites, équivalents et lever les formes indéterminées.
✓Maîtriser les dérivées usuelles et les règles de dérivation.
✓Étudier variations, extrema, convexité et asymptotes.
✓Appliquer TVI, bijection, Rolle, TAF et Taylor.

▤Prérequis

Suites
Logique & ensembles
Fonctions de Terminale

Fiche de cours

Domaine de définition

Avant toute étude, déterminer $D_{f} = {x \in R ∣ f (x) existe}$ .

Restrictions principales :
• dénominateur non nul ;
• argument d'un logarithme strictement positif ;
• radicande positif pour une racine carrée ;
• fonction inverse, tangente, etc.

Parité

Fonction paire : $f (- x) = f (x)$ — graphe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction impaire : $f (- x) = - f (x)$ — graphe symétrique par rapport à l'origine.

★ Formule à retenir

f (- x) = f (x)

f (- x) = - f (x)

Périodicité

Une fonction est périodique de période

T > 0

f (x + T) = f (x)

Exemples : $sin x$ et $cos x$ de période $2 π$ ; $tan x$ de période $π$ .

Limites usuelles

Toujours étudier aux bornes du domaine, en $+ \infty$ et en $- \infty$ .

Limite	Valeur
$\frac{1}{x}$ quand $x \to \pm \infty$	$0$
$e^{x}$ quand $x \to + \infty$	$+ \infty$
$e^{x}$ quand $x \to - \infty$	$0$
$ln x$ quand $x \to + \infty$	$+ \infty$
$ln x$ quand $x \to 0^{+}$	$- \infty$

Formes indéterminées

À reconnaître pour les lever : $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ , $+ \infty - \infty$ , $1^{\infty}$ , $0^{0}$ , $\infty^{0}$ .

Équivalents usuels en 0

À connaître par cœur lorsque $x \to 0$ :

★ Formule à retenir

sin x \sim x

;

tan x \sim x

;

ln (1 + x) \sim x

;

e^{x} - 1 \sim x

;

1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}

Dérivabilité

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Interprétation : pente de la tangente, vitesse de variation.

Dérivées usuelles

À connaître par cœur :

Fonction	Dérivée
$k$	$0$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$

Formules de dérivation

Somme :

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

.
Produit :

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

.
Quotient :

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

.
Composition :

(f \circ g)^{'} = (f^{'} \circ g) \times g^{'}

Variations et extrema

Étudier le signe de

f^{'} (x)

f^{'} > 0 \Rightarrow

croissante ;

f^{'} < 0 \Rightarrow

décroissante.

Si $f^{'} (a) = 0$ avec changement de signe : $+ \to -$ maximum ; $- \to +$ minimum.

Convexité

La seconde dérivée $f^{''}$ permet d'étudier la convexité.

Convexe : $f^{''} (x) \geq 0$ — courbe au-dessus de ses tangentes.
Concave : $f^{''} (x) \leq 0$ .
Point d'inflexion : $f^{''}$ change de signe.

★ Formule à retenir

f^{''} (x) \geq 0

: convexe ;

f^{''} (x) \leq 0

: concave

Asymptotes

Verticale : si

f (x) \to \pm \infty

quand

x \to a

, alors

x = a

est asymptote.

Horizontale : si

f (x) \to ℓ

, alors

y = ℓ

Oblique : si

a = lim \frac{f ( x )}{x}

b = lim (f (x) - a x)

existent (finis), alors

y = a x + b

est asymptote.

Position : étudier le signe de $f (x) - (a x + b)$ .

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , toute valeur entre $f (a)$ et $f (b)$ est atteinte.

Corollaire : si

f (a) f (b) < 0

, alors il existe

c \in [a, b]

tel que

f (c) = 0

Théorème de la bijection

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f (I)$ .

Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Rolle :

f

continue sur

[a, b]

, dérivable sur

] a, b [

f (a) = f (b)

\Rightarrow \exists c \in] a, b [, f^{'} (c) = 0

TAF : mêmes hypothèses (sans

f (a) = f (b)

)

\Rightarrow \exists c \in] a, b [, f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

Inégalité des AF : si $∣ f^{'} ∣ \leq M$ , alors $∣ f (b) - f (a) ∣ \leq M ∣ b - a ∣$ .

★ Formule à retenir

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

Formule de Taylor (DL d'ordre 2)

Au voisinage de $a$ :

★ Formule à retenir

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ^{''} ( a )}{2} (x - a)^{2} + o ((x - a)^{2})

Erreurs classiques

❌ Oublier le domaine de définition.
❌ Étudier les variations sans résoudre correctement $f^{'} (x) = 0$ .
❌ Confondre point critique et extremum.
❌ Oublier de vérifier les hypothèses du TVI, de Rolle ou du TAF.
❌ Déterminer une asymptote oblique sans vérifier que les deux limites existent.

★ À retenir

✅ Dérivées usuelles et règles de dérivation.
✅ Limites et équivalents usuels.
✅ Critères de monotonie et de convexité.
✅ TVI, bijection, Rolle, TAF.
✅ Plan complet d'une étude de fonction.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Étude de fonctions »

Étape 1

Identifier la fonction

Repère la variable, l'image et l'antécédent avant tout calcul.

Étape 2

Lire ou construire

Tableau de valeurs puis courbe : lire une image = verticale, un antécédent = horizontale.

Étape 3

Calculer les images

Remplace x par la valeur entre parenthèses, surtout avec les carrés et les signes.

Étape 4

Interpréter

Reviens toujours au contexte de l'énoncé pour conclure par une phrase.

✦Astuce GUIZMATHS

Suis toujours le même plan : domaine → parité/périodicité → limites → dérivée → variations → convexité → asymptotes → tracé. C'est cette rigueur qui paye en concours.

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

12 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Détermine le domaine de définition de

f (x) = \frac{ln x}{x - 2}

2. Calcule

x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{x}

3. Donne la dérivée de

f (x) = x^{2} e^{x}

4. Étudie la parité de

f (x) = x^{3} - x

Niveau 2 — Pratique

1. Étudie les variations et les asymptotes de

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}

2. Démontre que

f (x) = x + ln x

réalise une bijection de

] 0, + \infty [

sur

R

3. Applique le TAF à

f (x) = ln x

sur

[1, 1 + h]

pour majorer

ln (1 + h)

4. Étudie la convexité de

f (x) = e^{- x^{2}}

Niveau 3 — Défi

1. Soit

f

continue sur

[0, 1]

avec

f (0) = f (1)

. Montre qu'il existe

c \in [0, 1/2]

tel que

f (c) = f (c + 1/2)

2. Démontre, par Rolle, que tout polynôme de degré

n

a au plus

n

racines réelles.

3. Étudie complètement

f (x) = x e^{- x}

: domaine, dérivées, variations, convexité, asymptotes.

4. Écris le DL à l'ordre 2 de

f (x) = ln (1 + sin x)

0

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.