Chapitre 2 sur 10 · Prépa

Les SuitesConvergence, monotonie, théorèmes fondamentaux

Tout l'arsenal sur les suites réelles attendu en MPSI / PCSI / PTSI / ECG : définitions, monotonie, limites, théorèmes (gendarmes, Bolzano-Weierstrass, Cesàro), suites adjacentes, récurrentes, géométriques, croissances comparées et équivalents usuels.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Maîtriser les modes de définition (explicite, récurrente).
✓Étudier la monotonie et le caractère borné d'une suite.
✓Manipuler les limites finies, infinies et les opérations sur les limites.
✓Appliquer les grands théorèmes (gendarmes, comparaison, monotones, Bolzano-Weierstrass, Cesàro).
✓Mener à bien l'étude complète d'une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

▤Prérequis

Logique & ensembles
Fonctions de référence (Terminale)
Récurrence

Fiche de cours

Définition

Une suite est une application
$u : N ⟶ R$
qui associe à tout entier naturel $n$ un réel $u_{n}$ .

On note $(u_{n})_{n \in N}$ .

Modes de définition

a) Forme explicite — le terme général est donné directement.

Exemple :

u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}

b) Définition par récurrence — chaque terme dépend du précédent.

Exemple :

u_{0} = 2, u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1

Suites monotones

Croissante : $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ . Strictement : $u_{n + 1} > u_{n}$ .

Décroissante :

u_{n + 1} \leq u_{n}

. Strictement :

u_{n + 1} < u_{n}

Méthodes pour étudier la monotonie :
• Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

• Si

u_{n} > 0

, étudier

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

par rapport à

1

.
• Si

u_{n} = f (n)

, étudier le signe de

f^{'} (x)

Suites majorées, minorées, bornées

Majorée : $\exists M \in R, \forall n, u_{n} \leq M$ .
Minorée : $\exists m \in R, \forall n, u_{n} \geq m$ .
Bornée : à la fois majorée et minorée.

Limite d'une suite

Limite finie : $u_{n} \to ℓ$ si

\forall ε > 0, \exists N, n \geq N ⟹ ∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε

Limite infinie : $u_{n} \to + \infty$ si

\forall A > 0, \exists N, n \geq N ⟹ u_{n} > A

Même définition pour $- \infty$ .

Unicité de la limite

Une suite admet au plus une limite (finie ou infinie).

Opérations sur les limites

Si $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to m$ :

Opération	Limite
Somme	$u_{n} + v_{n} \to ℓ + m$
Produit	$u_{n} v_{n} \to ℓ m$
Quotient (si $m \neq = 0$ )	$\frac{u _{n}}{v _{n}} \to \frac{ℓ}{m}$
Valeur absolue	$∣ u_{n} ∣ \to ∣ ℓ ∣$

Théorèmes sur les limites

Théorème des gendarmes : si $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ et $u_{n} \to ℓ, w_{n} \to ℓ$ , alors $v_{n} \to ℓ$ .

Théorème de comparaison : si $u_{n} \leq v_{n}$ et $u_{n} \to + \infty$ , alors $v_{n} \to + \infty$ .

Passage à la limite dans une inégalité : si $u_{n} \leq v_{n}$ et $u_{n} \to ℓ, v_{n} \to m$ , alors $ℓ \leq m$ .

Théorème des suites monotones

Théorème fondamental :
• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.

• Si une suite croissante n'est pas majorée, alors $u_{n} \to + \infty$ .
• Si une suite décroissante n'est pas minorée, alors $u_{n} \to - \infty$ .

Suites extraites

Une suite extraite est $u_{φ (n)}$ où $φ : N \to N$ est strictement croissante.

Théorème : toute suite convergente possède des suites extraites ayant la même limite.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Toute suite réelle bornée possède une suite extraite convergente.

Théorème de Cesàro

Si $u_{n} \to ℓ$ , alors la moyenne arithmétique converge également vers $ℓ$ .

★ Formule à retenir

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} u_{k} ⟶ ℓ

Suites adjacentes

Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes si :
• $(u_{n})$ est croissante,
• $(v_{n})$ est décroissante,
• $v_{n} - u_{n} \to 0$ .

Alors $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers la même limite.

Suites récurrentes

On considère

u_{n + 1} = f (u_{n})

. Méthode classique :

1. Montrer que $u_{n} \in I$ (stabilité).
2. Étudier $u_{n + 1} - u_{n}$ .
3. Montrer que la suite est bornée.
4. Appliquer le théorème des suites monotones.

5. Calculer la limite via

ℓ = f (ℓ)

Suites géométriques

Définition :

u_{n + 1} = q u_{n}

. Terme général :

u_{n} = u_{0} q^{n}

**Comportement de $q^{n}$ :**

• Si

∣ q ∣ < 1

q^{n} \to 0

.
• Si

q = 1

: suite constante.
• Si

q > 1

q^{n} \to + \infty

.
• Si

q = - 1

: pas de limite.
• Si

q < - 1

: pas de limite (oscillations,

∣ q^{n} ∣ \to + \infty

★ Formule à retenir

u_{n} = u_{0} q^{n}

Croissances comparées

À connaître impérativement. Lorsque $n \to + \infty$ :

Comparaison	Hypothèses
$(ln n)^{α} = o (n^{β})$	$α, β > 0$
$n^{α} = o (a^{n})$	$a > 1$
$a^{n} = o (n!)$	$a > 1$
$n! = o (n^{n})$	—

Équivalents usuels

Lorsque $x \to 0$ :
• $sin x \sim x$
• $tan x \sim x$
• $1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}$
• $e^{x} - 1 \sim x$
• $ln (1 + x) \sim x$
• $(1 + x)^{α} \sim 1 + α x$

Ces équivalents sont souvent utilisés avec $x = \frac{1}{n}$ pour étudier les suites.

Erreurs classiques

❌ Penser que toute suite bornée converge.
❌ Confondre monotonie et convergence.
❌ Oublier de justifier l'existence de la limite avant d'écrire $ℓ = f (ℓ)$ .
❌ Utiliser le théorème des suites monotones sans prouver que la suite est bornée.
❌ Négliger les hypothèses des théorèmes de comparaison.

★ À retenir

✅ Définitions de suite majorée, minorée, bornée.
✅ Définitions des limites finies et infinies.
✅ Théorème des suites monotones.
✅ Théorème des gendarmes et de comparaison.
✅ Théorèmes de Bolzano-Weierstrass et de Cesàro.
✅ Théorème des suites adjacentes.
✅ Méthode complète des suites récurrentes.
✅ Comportement de $q^{n}$ selon $q$ .
✅ Principales croissances comparées.

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Les Suites »

Étape 1

Identifier la nature

Différence constante ⇒ arithmétique. Quotient constant ⇒ géométrique.

Étape 2

Explicite ou récurrente

u_{n+1} = f(u_n) pour calculer de proche en proche ; u_n = f(n) pour un terme lointain.

Étape 3

Appliquer les formules

u_n = u_0 + nr ou u_n = u_0 × qⁿ, et les sommes de termes.

Étape 4

Étudier le comportement

Sens de variation puis limite : justifie avec le signe de r ou la valeur de q.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , la méthode est presque toujours la même : (1) stabilité d'un intervalle $I$ , (2) monotonie, (3) bornée, (4) théorème des suites monotones, (5) point fixe $ℓ = f (ℓ)$ .

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

12 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Soit

u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}

. Calcule

u_{0}

u_{1}

u_{2}

et conjecture

lim u_{n}

2. Étudie la monotonie de

u_{n} = \frac{n}{n + 1}

en étudiant le signe de

u_{n + 1} - u_{n}

3. Soit

u_{n} = (\frac{1}{2})^{n}

. Détermine

lim u_{n}

en justifiant.

4. Montre que la suite

u_{n} = sin n

est bornée. Est-elle convergente ?

Niveau 2 — Pratique

1. Soit

u_{n} = \frac{sin n}{n}

. Démontre, avec le théorème des gendarmes, que

u_{n} \to 0

2. Soit

(u_{n})

définie par

u_{0} = 1

u_{n + 1} = u_{n} + 2

. Montre qu'elle est croissante, majorée par

2

, et donne sa limite.

3. Étudie la limite de

u_{n} = \frac{n ^{2} + 3 n}{2 n ^{2} - 1}

4. Démontre que les suites

u_{n} = 1 + \frac{1}{n}

v_{n} = 1 - \frac{1}{n}

sont adjacentes et donne leur limite commune.

Niveau 3 — Défi

1. Soit

(u_{n})

définie par

u_{0} \in [0, 1]

u_{n + 1} = u_{n} (1 - u_{n})

. Étudie la monotonie, montre qu'elle converge et détermine sa limite.

2. Démontre le théorème de Cesàro : si

u_{n} \to ℓ

, alors

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} u_{k} \to ℓ

3. Soit

(u_{n})

bornée telle que

u_{n + 1} - u_{n} \to 0

. Montre, à l'aide de Bolzano-Weierstrass, que l'ensemble des valeurs d'adhérence de

(u_{n})

est un intervalle.

4. Étudie la nature de

u_{n} = \frac{n !}{n ^{n}}

en utilisant les croissances comparées.

Défi GUIZMATHS

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.