Une proposition est une affirmation qui est soit vraie, soit fausse.

Exemples :

Implication : $P\Rightarrow Q$ signifie « lorsque $P$ est vraie, $Q$ est forcément vraie ». ⚠️ Cela ne signifie pas que $P$ est vraie.

Contraposée : $P\Rightarrow Q$ équivaut à $\neg Q\Rightarrow \neg P$. Très utile en démonstration.

Réciproque : $Q\Rightarrow P$ — pas équivalente en général.

Équivalence : $P\iff Q$ ssi $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$.

Par l'absurde : on suppose le contraire de ce que l'on veut démontrer, puis on obtient une contradiction.

Par contraposition : pour démontrer $P\Rightarrow Q$, on démontre $\neg Q\Rightarrow \neg P$.

Par récurrence pour une propriété $P(n)$ :
1. Initialisation : on vérifie $P(n_0)$.
2. Hérédité : on suppose $P(n)$ et on montre $P(n+1)$.
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$.

Quantificateur universel :
$\forall x\in E,P(x)$ — « pour tout $x$ ».
Quantificateur existentiel :
$\exists x\in E,P(x)$ — « il existe au moins un $x$ ».
Existence et unicité : 
$\exists !x$ — « il existe un unique $x$ ».

Négations à connaître par cœur :

• $x\in E$ : $x$ appartient à $E$. $x\notin E$ : ne lui appartient pas.
• $A\subset B$ : tout élément de $A$ appartient à $B$.

• $\varnothing$ : ensemble vide.
• Ensemble universel souvent noté $E$ ou $\Omega$.

Les opérations fondamentales :

$\mathrm{Card}(A)$ est le nombre d'éléments de $A$. La formule à toujours avoir en tête :

Distributivité :

À connaître parfaitement — clé pour la négation des propositions ensemblistes.

Une famille $(A_i{)}_{i\in I}$ est une collection d'ensembles indexée par $I$.

Réunion : $\bigcup _{i\in I}{A}_i$ — éléments appartenant à au moins un $A_i$.

Intersection : $\bigcap _{i\in I}{A}_i$ — éléments appartenant à tous les $A_i$.

Une application $f:E\to F$ associe à chaque élément de $E$ un unique élément de $F$.

⚠️ $f^{-1}(B)$ existe même si $f$ n'est pas bijective.

Injection : $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$ (deux éléments distincts ont des images distinctes).

Surjection : tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent.

Bijection : application à la fois injective et surjective — tout élément d'arrivée a un unique antécédent.

❌ Confondre implication et équivalence.
❌ Oublier de changer le quantificateur en niant une proposition.
❌ Penser que la réciproque est toujours vraie.
❌ Confondre image et image réciproque.
❌ Écrire $A\in B$ au lieu de $A\subset B$.