Chapitre 5 sur 8 · Seconde

Vecteurs

Coordonnées d'un vecteur, somme, relation de Chasles et colinéarité.

Objectifs & prérequis

◎Objectifs du chapitre

✓Qu'est-ce qu'un vecteur ?
✓Coordonnées d'un vecteur
✓Égalité de vecteurs
✓Somme de vecteurs
✓Relation de Chasles

Fiche de cours

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une longueur. On note $A B$ le vecteur qui représente le déplacement de A vers B.

Coordonnées d'un vecteur

Si A(

x_{A}

;

y_{A}

) et B(

x_{B}

;

y_{B}

), alors

A B

x_{B}

x_{A}

;

y_{B}

y_{A}

✱Exemple

›A(2;3), B(6;8) : $A B$ =(4;5)

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

Somme de vecteurs

On additionne les coordonnées des deux vecteurs.

✱Exemple

› $u$ =(2;3), $v$ =(1;4) : $u$ + $v$ =(3;7)

Relation de Chasles

Pour tous points A, B, C : $A B$ + $B C$ = $A C$ . C'est une propriété fondamentale.

Colinéarité

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction (l'un est un multiple de l'autre).

✱Exemple

› $u$ =(2;4) et $v$ =(1;2) sont colinéaires car $u$ =2 $v$

Méthode GUIZMATHS

✎

La méthode en 4 étapes

Comment aborder « Vecteurs »

Étape 1

Direction, sens, norme

Un vecteur, c'est ces trois informations : pas un simple segment.

Étape 2

Calculer les coordonnées

AB = (x_B − x_A ; y_B − y_A) : toujours arrivée moins départ.

Étape 3

Opérations

Somme, Chasles, colinéarité par le déterminant xy' − yx' = 0.

Étape 4

Traduire en géométrie

Colinéaires ⇒ parallèles ou alignés ; égalité de vecteurs ⇒ parallélogramme.

✦Astuce GUIZMATHS

Pour la relation de Chasles : $A B$ + $B C$ = $A C$ . La lettre du milieu disparaît !

⚠Erreur fréquente

Attention aux signes, aux parenthèses, et vérifie toujours ton résultat avec un cas particulier.

✓À retenir

Refais les exemples seul·e dans 24 h : c'est le meilleur test de mémorisation.

Exercices

15 questions

Niveau 1 — Initiation

1. Calculer les coordonnées de

A B

avec A(1;2) et B(4;5).

2. Calculer les coordonnées de

C D

avec C(0;0) et D(3;7).

3. Donner les coordonnées du vecteur (4;2).

4. Additionner (2;3)+(1;4).

5. Additionner (5;1)+(2;2).

Niveau 2 — Pratique

1. Utiliser la relation de Chasles :

A B

B C

2. Calculer (4;5)+(2;3).

3. Déterminer si deux vecteurs donnés sont égaux.

4. Déterminer si deux vecteurs donnés sont colinéaires.

5. Construire un vecteur dans un repère.

Niveau 3 — Défi

1. Vérifier la colinéarité de (3;6) et (1;2).

2. Calculer plusieurs vecteurs à partir de coordonnées de points.

3. Utiliser la relation de Chasles dans une figure géométrique.

4. Vérifier l'alignement de trois points à l'aide des vecteurs.

5. Exercice de synthèse sur les vecteurs.

Défi GUIZMATHS

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Corrigés

Les corrigés détaillés sont disponibles dans le mode entraînement (correction après 2 erreurs) et dans les PDFs téléchargeables ci-dessous.